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Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin

Posté par
jamo Moderateur
13-02-09 à 18:52

Bonjour,

Demain, c'est la Saint-Valentin, alors Bonne fête à tous les Valentin et à toutes les Valentine !

Après la fabuleuse énigme "La course de la Saint-Sylvestre" (ici : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre), voici une nouvelle course avec un nageur qui veut rattraper une nageuse.

Ce coup-ci, ça se passe entre Lorie et Philou. L'action se déroule dans une piscine carrée qui mesure 120 mètres de côté.

Lorie nage à la vitesse constante de 6 km/h sur un cercle de centre O et de rayon 50m. Elle part du point B situé sur l'horizontale (voir dessin).
Au même moment, Philou part du point A au bord la piscine et nage à la vitesse de 5 km/h selon une droite inclinée d'un angle (voir dessin).

L'objectif de Philou est de rattraper Lorie le plus vite possible au point M. Bien entendu, pour que les deux trajectoires se croisent exactement au même endroit et au même moment, il faut que Philou choisisse le bon angle ...

Question : déterminer la valeur de l'angle pour que les deux trajectoires se croisent au même moment. L'angle sera donné en degrés, avec une précision de 0,1 degré.

Remarque : il est possible qu'il existe plusieurs solutions à ce problème, mais celle que je veux, et qui est unique, correspond à la première rencontre possible qui demande le moins de temps de nage. C'est la solution qui se trouve dans le cadran où j'ai placé le point M (enfin, maintenant que j'écris ça et que j'y réfléchis, il n'est pas évident que plusieurs solutions existent, je dois dire une bêtise !).

Bonne recherche !

Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 13-02-09 à 19:58

perduJe dirai 50,97° soit 51,0°.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 13-02-09 à 21:04

gagnébonjour Jamo
l'angle alpha mesure 16,4 degrés, arrondi au dixième de degré le plus proche
tableur (longueurs en décamètres)
A : ligne()/1000 ; angle BOM en radians
B : 5*A ; distance parcourue par Lorie
C : 5*sin(A) ; distance de M à la médiane horizontale
D : 6-cos(A) ; distance de M au bord droit
E : racine(C²+D²) ; distance parcourue par Philou
F : E/B ; rapport des distances de Philou et de Lorie
G : atan(C/D) ; angle en radians de la trajectoire de Philou par rapport à l'horizontale
F est le plus proche de 5/6 quand A = 2,511 : pi/2 < 2,511 < 2pi

Posté par
maher_91
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 13-02-09 à 21:04

perduAM= 10. \sqrt{cos(a)}  (alkashi)
[BM] (arc) = (--BOM).50 (je calcule avec la formule du périmétre du cercle)
...
l'angle qui convient est celui dont cette égalié est vraie :

\frac{\sqrt{AM}}{1.38} = \frac{\sqrt{[BM]}}{1.66}

10.\frac{\sqrt{cos(a)}}{1.38} = {\frac{(pi-a-BOM)50}{1.66}...
mais je trouve pas un bon compilateur pour réaliser ce programme vu que la fonction cos en PASCAL se fait en radians...
bon essai comme même  

Posté par
manpower
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 13-02-09 à 21:45

gagnéBonsoir,

on dirait que j'ai manqué de finesse sur ce coup... j'ai fait bourrin (analytique)
et les calculs ne sont pas beaux !

Il s'agit de résoudre 5\frac{\pi x}{18}=\frac{6}{5}\sqrt{6100-6000cosx}x est l'angle au centre \hat{MOB} ... beurk ! C'est vraiment laid... m'enfin ! J'ai la flemme de chercher mieux...


On trouve une valeur approchée de 143,86° pour finalement obtenir un angle \alpha \approx 16,368283158...°.
soit, au dixième près, 16,4°.

Merci pour l'Enigmo.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 13-02-09 à 21:58

perduBonsoir Jamo, et merci pour l'énigme !

Voici ma réponse:

l'angle vaut \alpha = 1,2 degrés, en arrondissant à 0,1 degré près.
Les deux nageurs se rejoindront au bout de t = 7,20189571 secondes, au point situé aux coordonnées (49,99956112;0,2094940413)

En espérant ne pas avoir fait d'erreurs...

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 14-02-09 à 00:07

gagnéBonjour Jamo,

ma réponse: angle = 16,4 degrés

je ne détaille pas les calculs mais le résultat:

la rencontre a lieu au bout d'un temps égal à:
  t = 1,25546.. minutes  (soit 75,328.. secondes)

le point M a pour coordonnées:
  y =  29,48368.. mètres
  x = -40,38208.. mètres

la distance parcourue par Lorie:
  1,25546.. minutes * 100 mètres/minutes = 125,54689.. mètres
  qui est est bien l'arc de cercle ayant pour angle 2t
  puisque la vitesse de Lorie est de 2 radians par minute
  on retrouve les coordonnées
     y = 50*sin(2t)
     x = 40*cos(2t)

la distance parcourue par philou:
  1,25546.. minutes * 500/6 mètres/minutes = 104,62241.. mètres
  qui est bien les 5/6 de la distance parcourue par Lorie
  et aussi l'hypoténuse d'un triangle rectangle
  ayant pour côté y et (60-x)
  x étant négatif

sauf erreur bien entendu

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 14-02-09 à 09:40

perduEnigmo 88

Je trouve pour 11,079degrés soit 11,1degrés à 0,1près

Posté par
torio
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 14-02-09 à 10:36

gagné

pour Lorie :

Elle nage à 6km/h donc elle fait un tour (100 m) en /60 h

(Pour la suite : distance en mètres  et angles en radians)

x(t) = 50*cos(120t)      
y(t) = 50*sin(120t)


Pour Philou :

x(t) = 60 - cos()*5000*t
y(t) = sin()*5000*t

En égalant les x(t)  et les y(t) entre eux, et en posant  T = 100t
on trouve :

T2 = 2,44 - 2,4*cos(1,2T)

On trouve (graphiquement) : T = 2.09244831

et par la suite :

= 0.285680431 radians = 16.368283 degrés = 16.4° (arrondi à o,1°)

A+
Torio

Posté par
rogerd
La piscine 14-02-09 à 11:01

perduBonjour à tous et merci à Jamo

J'encadre à l'aide de la calculette la racine de l'équation qui donne la valeur optimale de l'angle au centre. J'en déduis l'encadrement de la valeur correspondante de alpha par

14,96874662 et 14,97797293.

alpha vaut donc 15 degrés à 0,1 degré près

Posté par
13or
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 14-02-09 à 11:32

gagné16,4 degrés

Posté par
castoriginal
Enigmo 88 la course de la Saint Valentin 14-02-09 à 15:59

gagnéconsidérons le trajet de Lorie: elle parcourt l'arc AM=50 * angle b (rad)
Philou se déplace en ligne droite de B à M.

On peut définir OX =ABS(50 cos(Pi - b)) et XM = 50 sin(Pi-b)
il vient la condition géométrique tg a =MX/OX
tg a = 50 sin (Pi-b)/(50cos(P-b)+60) d'où l'on peut trouver une valeur de l'angle a et de sin a

D'autre part, on doit calculer le trajet de Philou: MB= XM * sin a
soit MB= 50 sin (Pi-b)/ sin a
La condition de rencontre en mouvement rectiligne uniforme ( e=vt)
dit qu'au temps t, le rapport des espaces parcourus aux vitesses doit être
égal soit e(Lorie)/vitesse Lorie= e(Philou)/vitesse Philou
on a donc 50*b/6000 = 50 sin (Pi-b)/5000 sin a.
On cherche donc à égaler les 2 valeurs de sin a par itération en fonction d'une valeur de b variable.
On peut ainsi trouver un angle a (alpha) de 16,37° arrondi au dixième
soit 16,4°

Enigmo 88 la course de la Saint Valentin

Posté par
castoriginal
Enigmo 88 la course de la Saint Valentin 14-02-09 à 16:17

gagnéJ'ai fait une petite erreur de frappe dans mon message précédent:

"la condition géométrique tg a = MX/AX" doit remplacer

"la condition géométrique tg a = MX/OX"

Bien à vous

Posté par
castoriginal
Enigmo 88 la course de la Saint Valentin 14-02-09 à 16:20

gagnéToutes mes excuses, je deviens gâteux!

je rectifie

la condition géométrique est tg a = MX/BX;

la suite du calcul est d'ailleurs conforme à cette expression mathématique

Bonne saint Valentin

Posté par
MatheuxMatou
Course de la saint valentin 14-02-09 à 18:33

gagnéBonjour,
J'ai décidé d'exprimer les distances en dam et les temps en minutes... et pour l'étude du problème, les angles en radian. Je note "a" l'angle cherché, P et L les deux nageurs.
En considérant le cas où la trajectoire de P est tangente au cercle, on voit que l'angle a est compris entre 0 et une valeur maximale amax dont le sinus vaut 5/6.
L avance à la vitesse de 10 dam/min sur le cercle et P à 25/3 dam/min sur la droite.
En "mettant les choses au pire", c'est à dire pour a=0, on voit que P dépasse le cercle (point diamétralement opposé à B) au bout d'un temps de 3*11/25 = 1,42 min et donc l'instant t de la rencontre (si elle a lieu) est compris entre 0 et 1,42.
Tout cela étant posé, j'utilise les nombres complexes dans le repère centré au milieu de la piscine et d'unité 1 dam.
Les relations géométriques traduites sur les affixes nous donnent :
L'affixe de L vaut 5*exp(2it)
L'affixe de P vaut 6-(25*t*exp(-ia))/3
On cherche donc a dans [0 ; amax] et t dans [0 ; 1,42] tels que ces deux affixes soient égales.
En égalant parties réelles et imaginaires et en isolant ce qui dépend de a, on obtient :
cos(a)=(18 - 15 cos(2t))/(25t) et sin(a)=15 sin(2t) / (25t)
Une condition nécessaire pour que le problème ait une solution est que la somme des carrés de ces deux quantités vaille 1.
Cela nous conduit à annuler la fonction f(t) = 625 t2 + 540 cos(2t) - 549
En étudiant cette fonction sur [0 ; 1,42] (il faut aller jusqu'à la dérivée seconde pour faire une étude mathématique rigoureuse), on voit qu'elle s'annule en une unique valeur t1,2554...
En remplaçant par cette valeur on obtient alors sin(a)0,28181...
qui est bien inférieur à 5/6... et donc qui convient
Cela nous fournit l'angle cherché (lui on le calcule en degrés), seule solution au problème :
a16,3683 degrés
soit 16,4 degrés à 0,1 degré près.

Cordialement à vous,

Alain

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 14-02-09 à 19:47

gagnéBonjour Jamo, bonjour à tous

Je propose : 16.3°

Merci pour l'énigme.

A+

Posté par
geo3
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 14-02-09 à 21:06

gagnéBonsoir
Réponse 16°3
Soit µ l'angle au centre ^MOB = ^MOA
Longueur de l'arc BM = Rµ = 50µ ;   µ en radian
On a bien  50 µ = 6t   et AM = x =5t  =>  50µ = 6x/5  => µ = 6x/250  (*)
Dans le triangle AOM  on a
AM² = x² = OM² + OA² - 2OM.OAcos(µ) = 50²+60²-2.50.60cos(µ) = 6100 - 6000.cos(µ) =>
x²=6100 - 6000.cos(µ)  (**)
(*) et (**) 2 équations à 2 inconnues =>
x² = 6100 - 6000.cos(6x/250)
=> x = 104,6224152 ; µ = 143,866148°
or x/sin(µ) = 50/sin() => sin() = 0.281810374  => = 16.3682832°
A+

Posté par
evariste
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 15-02-09 à 08:58

perdu6,9 degrés

Posté par
dpi
maudite table trigo 15-02-09 à 10:57

perdudommage que les tableurs ne donnent pas les valeurs TRIGO pour les degrés!

Nous constatons qu'au point M LORIE aura fait un arc de cercle c au même point PHILOU aura fait une sécante x déterminant un triangle a (alpha ) un angle (beta) et c comme Lorie

nous avons 50/sin b = 60/sinb =x /sinc

nous savons aussi que la nageuse va 20% plus vite que le nageur et puisqu'au point de rencontre il sera écoulé le même temps l'arc de cercle fera 20 % de plus que la sécante.

En posant les données sur mon tableur je trouve a = 17°98
le temps sera de 73 s72/100

Posté par
caylus
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 15-02-09 à 11:12

gagnéBonjour Jamo,

16,4° (16.3682832°)

Merci pour l'énigme

Posté par
Sr-Jose
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 15-02-09 à 17:24

perduA vue de nez...  39.2° à 0.1° près.

Posté par
albatros
Course de la st valentin 16-02-09 à 15:03

perduL'angle est de 27,3°

Posté par
matovitch
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 16-02-09 à 15:22

perduBonjour à tous !
Je trouve un angle d'environ 24.1°.
Sauf erreur !

Posté par
veleda
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 16-02-09 à 22:38

gagnébonsoir jamo,
je suis en retard
lorie a une vitesse de 6km/h donc de 100m/minute
philou a une vitesse de 5km/h donc de \frac{500}{6}m/minute
le départ des deux nageurs se faisant à l'instant 0 je note t le temps en minutes au bout du quel les nageurs se rencontrent en un point M du second quadrant
philou a alors parcouru\frac{500}{6}tmètres entre A et M
Lorie a parcouru l'arc  de cercle BM soit 100t mètres ce qui correspond à un angle au centre= \widehat{BOM}tel que 100t=50 donc =2t
*dans le triangle OAM
\frac{sin(\alpha)}{50}=\frac{sin(\beta)}{AM} (1)=>sin(\alpha)=\frac{6sin(\beta)}{5\beta}
**M étant par hypothèse dans le second quadrant \beta>\frac{\pi}{2}donc
AMcos(\alpha)=60-50cos(\beta) (2)
(1)et (2)=>(\frac{25}{6})^2(\beta)^2=61-60cos(\beta)
à la calculatrice je trouve \beta=2,51094 radians soit 143°,9 par excés
j'en déduis  sin(\alpha)=\frac{6sin(\beta)}{5\beta}=0,28181et=16°,4 à 0,1 degré prés par excés
merci pour ce petit problème j'espère ne pas m'être trompée

Posté par
gloubi
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 17-02-09 à 11:08

gagnéBonjour,

16,4°.
Merci pour l'Enigmo

Posté par
pacou
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 17-02-09 à 12:51

gagnéBonjour, Jamo

Je trouve =16,4° avec une précision de 0,1°

C'est un peu râlant de ne pas avoir les connaissances mathématiques suffisantes pour proposer un raisonnement élégant alors voilà un raisonnement un peu bourrin:
Soit C le cercle de centre O et de rayon R=50m représentant la trajectoire de Lorie.
Soit M(x,y) le point de concours (rencontre) de Philou et Lorie.
Soit d1= la longueur de l'arc de cercle BM représentant la course de Lorie
Soit d2  la distance parcourue par Philou.
Soit D, le point de coordonnées(x,0)

M est sur le le cercle C:
x=R cos   y=R sin
L'arc de cercle BM=R ( en radian)
d2=\frac{5}{6}d_1

MDA est un triangle rectangle en D:
MA²=y²+(60-x)²
MA=\sqrt{y^2+(60-x)^2}
sin=\frac{y}{AM}

A partir d'un tableau excel, on cherche les valeurs pour lesquelles d2-AM est le plus petit possible.
Ce qui donne =16,366.. soit =16,4°

Merci pour l'énigme, Jamo.

Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin

Posté par
fifredo
La course de la Saint-Valentin 18-02-09 à 01:38

perduBonsoir!
je pense que la réponse est 22,4°. Je ne suis pas certain de ma réponse.
En tout cas, merci beaucoup pour cette énigme.

Posté par
fifredo
La course de la Saint Valentin 18-02-09 à 23:13

perduBonsoir!
En relisant mes calculs, il se trouve que je me suis aperçu que j'avais fait une erreur de calcul.
Je pense que la réponse est 21,1°. Je sais que c'est la premère réponse qui sera prise en compte, mais je préférais quand-même le signaler.
Merci, et bonne fin de semaine.

Posté par
infophile
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 19-02-09 à 14:25

gagnéBonjour ;

Ma réponse : Un angle de 16,4°

\fbox{*} L'équation de la trajectoire rectiligne : 4$ \blue \fbox{y=\tan(\alpha)(60-x)}

\fbox{*} Distance parcourue par Philou : 3$ \fbox{D^2=(60-x)^2+y^2=(1+\tan^2(\alpha))(60-x)^2=\frac{(60-x)^2}{\cos^2(\alpha)}}

Et comme 3$ \fbox{\{\cos(\alpha)>0\\(60-x)\ge 0} on a 3$ \fbox{D=\frac{60-x}{\cos(\alpha)}}.

Or 3$ \fbox{D=v_1t_1} donc 4$ \blue \fbox{t_1=\frac{60-x}{v_1\cos(\alpha)} (\bullet)}

\fbox{*} Equation du cercle : 4$ \red \fbox{x^2+y^2=50^2}

\fbox{*} Intersection des deux trajectoires : 3$ \fbox{x_M^2+\tan^2(\alpha)(60-x_M)^2=50^2}

On résout cette équation on obtient 2 solutions pour 3$ x_M mais une seule conviendra.

\fbox{*} On regarde le temps 3$ t_1 qu'il a fallu à Philou pour arriver à ce point en utilisant 3$ (\bullet).

\fbox{*} Sur la trajectoire circulaire on a le paramétrage : 4$ \red \fbox{\{x=50\cos(wt)\\y=50\sin(wt)}3$ \fbox{w=\frac{v}{R}} est la pulsation. On trouve avec les bonnes unités : 3$ \fbox{w=\frac{1}{30}s^{-1}}.

\fbox{*} Puisque l'on veut que les trajectoires se coupent à une même date t, on reporte 3$ t_1 dans 3$ \fbox{x_M=50\cos(wt)} et on résout l'équation en 3$ a.

Supplément : On peut également déterminer le point de rencontre 3$ \blue \fbox{M(-40,4;29,5)} et la date correspondante 3$ \red \rm \fbox{t_1=1 min 15 s}

Sauf erreur

Posté par
Wasiwasa1729
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 20-02-09 à 22:50

gagnéL'equation m'a rendu très paresseux alors je m'en suis remis a GeoGebra.
Voila ce que je trouve avec une rapide construction :

16,4°

et ils se rencontreront apres 1min15 sec de nage. Lorie a parcouru 125,5 m et Philou 104,6 m.

Posté par
jamilhaddad
La course de Saint Valentin 21-02-09 à 15:35

perduBonjour
Soit b' la mesure de l'angle AOM en radians et b sa mesure en degrés.
• AM/longueur de l'arc BM=5/6
• longueur de l'arc BM=50*b' mètres=0.05*b*pi/180 Km
AM2=OM2+OA2-2*OM*OA*cosb=0.0061-0.006*cosb
De même:AM2=25/36(0.05*pi/180)2*b2
Cosb=0.0061/0.006-25*(0.05*pi/180)2b2/(36*0.006)
B=93,32 degrés
Donc : AM=80.296
Sin(alfa)=50*sinb/80.296=0.62 alfa=38,4367 degrés
alfa=38o 26' 12''
Réponse : alfa=38.4 degrés

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 22-02-09 à 11:29

perdubonjour !

Voici ma réponse :

Comme pour la course de la saint-sylvestre je pense que ce problème est impossible étant donnée que la distance parcourue par Lorie va s'exprimer en fonction de mais pas la distance parcourue par Philou, ( étant un irrationel non constructible).

Mais je sens le piège !

Merci.

Posté par
ThierryMasula
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 25-02-09 à 17:43

gagnéBonsoir Jamo,

J'ai mesuré 16°4 pour que la rencontre puisse avoir lieu.

C'est un peu froid pour moi et me garderai de plonger dans l'eau...

Posté par
totti1000
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 25-02-09 à 18:45

gagnéBonjour Jamo,
recheche d'un angle ca me rappel un mauvais souvenir (une histoire de tasse)...
Bon alors ici je propose un angle de 16,4°.
Merci pour cette enigme...

Posté par
Rudi
Réponse à l'Enigmo 88 26-02-09 à 18:48

gagnéBonjour

Dans cette configuration, je pense qu’il n’y a qu’une seule solution :

alpha =  16,4° ( 16,3683°… )


#########################

Ce problème m’a fait pensé à celui-ci :

*** problème effacé car repris en topic séparé Enigme mathematique ***

Edit Coll

Posté par
Labo
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 02-03-09 à 09:14

gagnébonjour jamo,
16,3°<<16,4°
DP=AM
DL=arc BM
t=AM/5=arcBM/6
AM=(5/6)arcBM
AM2=y2+(x+60)2=6100+120x
cosß=x/50
arcBM=50arccos(π-ß)
√(6100+120x)=(5/6)50arccos(π-ß)
un petit tour sur excel...
x...........AM.................ß............(5/6)arcBM.......AM-(5/6)arcBM
40,382...104,6223685....0,630657451.....104,6223001.....6,84301E-05
tan=\frac{\sqr(2500-40,382^{2})}{100,382}
16,368°...

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 02-03-09 à 16:00

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 16,4° (16,37° en cherchant une meilleure précision).

Pour résoudre cette énigme, on pouvait par exemple exprimer la position des nageurs dans un repère en fonction du temps et de l'angle . Puis, en utilisant un tableur, on faisait varier l'angle en cherchant si la distance entre les deux nageurs s'annulait pour une certaine valeur du temps. L'utilisation du solveur du tableur permettait peut-être d'obtenir la réponse plus rapidement.
On pouvait aussi faire un petit programme qui faisait le même travail.

D'autres sont tombés sur une équation en qu'on ne pouvait pas résoudre de manière exacte, et là-aussi un petit coup de tableur ou de programmation permettait de s'en sortir.

Parmi les mauvaises réponses, peut-être quelques erreurs d'unités ?

Sinon, bravo à tous ceux qui ont trouvé !

Posté par
ugalite
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 02-03-09 à 16:11

Salut Jamo, je n'ai pas osé répondre "problème impossible",
mais si je ne me trompe pas tu ne précise pas que le point O est situé à l'intersection des diagonales du carré, donc on ne connait pas la distance OA.
Voilà c'était juste une petite remarque.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 02-03-09 à 16:14

ugalite >> j'avais tracé 2 axes de symétrie du carré, et ces 2 axes se coupent en O.

Et même sans ça, vu la figure et la nature du problème, cette information était évidente, non ?

Posté par
matovitch
re : Enigmo 88 : La course de la Saint-Valentin 02-03-09 à 19:32

perduSalut à tous !
Juste pour signaler mon erreur assez décevante : j'ai inversé les 2 vitesses !!
Jamo >> Pourquoi ne pas poser une autre énigme avec Lorie à 5km/h et Philou à 6 ?

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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