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Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour

Posté par
jamo Moderateur
16-02-09 à 14:32

Bonjour,

Jamo l'écologiste a décidé de changer ses ampoules pour passer aux modèles "basse consommation" avant que cela ne devienne bientôt obligatoire. Et bien entendu, elles coutent plus chères, sont vilaines, plus grosses ... ce qui nécessite de changer l'abat-jour qui allait avec chacune de mes anciennes ampoules (bonjour les économies, ça devrait être amorti d'ici 20 ans à mon avis ).

Je suis donc allé voir dans la boutique de décoration du coin, et le vendeur peut me fabriquer un abat-jour sur mesure, de la taille et de la forme que je veux. Formidable, non ?
En fait, le vendeur propose de me faire l'abat-jour de mes rêves à partir d'une certaine quantité de tissu pour les contours.

J'ai décidé de m'orienter vers un abat-jour en forme de pyramide régulière à base carrée comme le montre la petite figure ci-dessous. Mais attention, contrairement à la photo, l'abat-jour est fermé en haut (les ampoules chauffant moins, j'espère que ça résistera).

L'abat-jour a donc une base carrée, et les 4 faces latérales sont des triangles isocèles identiques. En tout, j'ai choisi d'utiliser 1 mètre carré de tissu (attention : seules les 4 faces triangulaires sont en tissu, et pas la base de la pyramide). J'ai demandé au décorateur de me fabriquer un abat-jour de telle sorte que son volume soit maximal.

Question : quelles sont les dimensions de la pyramide afin que son volume soit maximal, sachant que ses 4 faces latérales font 1 mètre carrée au total ?
Vous me donnerez 3 nombres en réponse : la largeur de la base et la hauteur de la pyramide, avec une précision de 1 mm pour ces deux longueurs, ainsi que l'angle au sommet des 4 triangles avec une précision de 1 degré.

Comme cette énigme sent un peu le fait qu'il va falloir faire des maths, je mets 3 étoiles pour la difficulté !


Question subsidiaire : comment s'écrit le pluriel du mot "abat-jour" ? (sans utiliser de dictionnaire )

Bonne recherche !

Enigmo 89 : Un problème d\'abat-jour

Posté par
matovitch
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 14:55

perduSalut à tous !
x760mm H760mm et =120°.
Sauf erreur !

Posté par
manpower
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 17:26

gagnéBonjour,

pfff quelle truffe, j'ai foncé dans les calculs comme un âne...
(Comme cette énigme sent un peu le fait qu'il va falloir faire des maths, je mets 3 étoiles pour la difficulté !)
En effet, sauf erreur, le volume est maximal lorsque les faces sont des triangles équilatéraux (ce que j'ai découvert seulement à la fin, alors qu'en utilisant cela dès le début cela devient expéditif). Bien joué, jamo, la petite phrase ajoutée !

Bon, avec les formules d'aire et de volume, une équation et l'étude du maximum par dérivation, j'obtiens :
x=\frac{100}{\sqrt[4]{3}}\approx76 cm
H=\frac{50\sqrt{6}\sqrt[4]{3}}{3}\approx53,7 cm
\alpha=2Arctan\frac{1}{\sqrt{3} =60°

Le tout pour un volume maximal de \frac{500000\sqrt{6}\sqrt[4]{27}}{27}\approx103400,54 cm3.

Merci pour l'Enigmo.

PS: Pour abat-jour, je mise sur invariant tant les autres me paraissent horribles...

Posté par
MatheuxMatou
L'abat-jour pyramidal 16-02-09 à 19:26

gagnéBonjour Jamo... et tout le monde

Travaillons en mètres pour les distances... et on convertira à la fin pour le résultat arrondi.

Une section de la chose par le plan médiateur d'un des côtés du carré de base met en évidence un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent h et \frac{x}{2} et dont l'hypoténuse n'est autre que la hauteur d'une face triangulaire isocèle et vaut en conséquence \sqrt{h^2 + \frac{x^2}{4}}
L'aire de l'abat-jour vaut donc 4\times \frac{x}{2} \times \sqrt{h^2 + \frac{x^2}{4}}
ou encore _sqrt{4 h^2 x^2 + x^4}
cette aire valant 1 m2 , on a la relation 4 h^2 x^2 + x^4 = 1 {*}

Par ailleurs, le volume vaut V = \frac{1}{3} x^2 h
Et cette quantité étant positive, elle est maximale si et seulement si son carré l'est.
Au bout du compte, il faut rendre  x^4 h^2 maximal
Avec la relation {*} trouvée précédemment, multipliée par x2, on obtient :  4 h^2 x^4 + x^6 = x^2
Et donc le problème revient à rendre x^2 - x^6 maximal.

Une brève étude de cette fonction sur ]0 ; +[ nous montre qu'elle admet un maximum pour la valeur \fbox{x = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}}

En reportant cette valeur dans la relation {*}, on obtient \fbox{h = \frac{1}{\sqrt[4]{12}}}

Puis en reprenant un demi triangle isocèle formant une face, c'est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent \frac{x}{2}=\frac{1}{2 \sqrt[4]{3}} et \sqrt{h^2 + \frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{2}, et dont l'angle au sommet vaut \frac{\alpha}{2}
On en déduit que tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2 \sqrt[4]{3}}\times\frac{2}{\sqrt[4]{3}} = \frac{1}{sqrt{3}}
On en déduit que \frac{\alpha}{2} vaut 30° et donc \fbox{\alpha = 60}

Avec les arrondis demandés, les nombres cherchés sont donc :
x 760 mm
h 537 mm
= 60°

c'est déjà du bel abat-jour !

Cordialement à tous,

Alain

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 19:31

gagnéJ'espère ne pas m'être planté comme pour l'énigme précédente...
je trouve donc x=75,9 cm, H=53,7 cm et alpha = 60°

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 19:46

gagnébonjour
le côté de la base est 760 millimètres
la hauteur de la pyramide est 537 millimètres
l'angle au sommet de chacun des triangles équilatéraux est 60 degrés

le pluriel de abat-jour est abat-jour, car abat est un verbe conjugué et jour désigne une chose qui n'est qu'en un seul exemplaire (la lumière)
la réforme propose probablement abat-jours

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 20:05

perduSalut la bande,

bien qu'à au moins 45°C de fièvre je vais tenter de répondre à cette énigme !

Je trouve un angle \alpha de 60° exactement (ma grippe me trompe-t-elle ?)

un côté x de 53,72849665 cm et une hauteur de 37,9917842 centimètres.

Le volume sera V = 0,03655761147 m^3 soit 36,56 litres environ.
En espérant que ce soit la bonne réponse, de toute manière je ne me sens pas de vérifier !

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 21:44

gagnéBonjour Jamo,

ma réponse:
   largeur de la base...........x = 76 cm
   hauteur de la pyramide....H = 53,7 cm
   angle au sommet............ = 60°

les 4 triangles sont équilatéraux

   surface d'un triagle \rm S = 2500 cm^2

   hauteur d'un triangle \rm h = \frac{5000}{x} = 65,8037 cm

   hauteur de la pyramide \rm H = \frac{x\sqr{2}}{2} = 53,7284 cm

   volume de la pyramide \rm V = \frac{x^3\sqr{2}}{6} = 103400 cm^3

   largeur de la base \rm x = 100.3^{-\frac{1}{4}} = 75,9835 cm

Posté par
geo3
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 16-02-09 à 22:35

gagnéBonsoir
x = 759 mm (par défaut)
H = 537 mm
= 60°
A+

Posté par
torio
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 17-02-09 à 08:47

gagnéLargeur base = 760 mm
Hauteur pyramide = 537 mm
Angle au sommet = 60°

A+
Torio

Enigmo 89 : Un problème d\'abat-jour

Posté par
caylus
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 17-02-09 à 12:30

gagnéBonjour Jamo,

x=0,760 m
H=0,537 m
Alpha=60°
Merci pour l'énigme

Posté par
rezoons
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 17-02-09 à 18:20

gagnéBonjour ,
la pyramide atteint son aire maximale quand les 4 triangles sont equilateraux donc:
a=60°
x=760mm
H=537mm

et sans le dictionnaire je dirait abat-jours.

Posté par
rogerd
Abat-jour 17-02-09 à 18:28

gagnéBonjour Jamo et merci pour cette énigme, reposante après l'escalator

Je trouve pour les valeurs optimales:

x=0,7598..mètre donc 76 cm à 1 mm près
H=0,5372..mètre donc 53,7 cm à 1mm près
alpha=60 degrés à 1 degré près

Je vais regarder si cette valeur est exactement de 60 degrés

Posté par
evariste
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 18-02-09 à 15:12

perdulargeur de la base : 76,0 cm avec une précision de 1 mm
hauteur de la pyramide : 53,7 cm avec une précision de 1 mm
angle au sommet des 4 triangles: 71 degrés  avec une précision de 1 degré.

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 18-02-09 à 15:23

gagnéBonjour !

Voici ma réponse :

Largeur de la base : 76,0 cm (arrondi au mm)
Hauteur de la pyramide : 53,7 cm (arrondi au mm)
Angle au sommet des 4 triangles : 60°

En espérant ne pas avoir fait d'erreurs de calcul !

Question subsidiaire : je dirais que le mot abat-jour est invariable ("des abat-jour"), à tout hasard.

Merci.

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 18-02-09 à 16:43

gagnéEnigmo 89

Salut jamo

Pour la largeur de la base 760 mm , pour la hauteur 537 mm

et pour l'angle alpha 60°

Posté par
fifredo
Un problème d'abat-jour 19-02-09 à 00:14

gagnéBonsoir!
Tout d'abord, merci pour cette énigme.
Ma réponse est: le volume est maximal pour:
               x environ égal à 760 mm,
               H environ égal    537 mm,
             alpha égal à 60°.
Démonstration:
Appelons d la hauteur d'une face latérale.
xd/2 = 1/4 donc d = 1/(2x)
En utilisant le théorème de Pythagore, on a H²= d²-(x/2)² et H  = (racine(1-Xpuissance4))/2x.
Ainsi, V = (1/6)x racine(1-xpuissance 4)
Soit v = f(x).
f'(x) est du même signe que 2-6xpuissance4.
Ainsi f' s'anule pour x = 1/racine de racine de 3.
On en déduit H.
Ensuite, tan(alpha/2) = x², d'où alpha/2 = 30° et alpha = 60°
Merci et à bientôt.

PS: Je pense que le mot "abat-jour" est invariable.

Posté par
dpi
l'abat jour pyramidal 19-02-09 à 16:11

gagnéCe problème ressemble à celui que j'ai proposé sur le site :le chercheur d'or
En retrouvant les paramètres je trouve:

x= 76  H=53.7  
et hauteur du coté triangulaire  h= 65.8 cm
pour mémoire V=103.4 dm3

Pour l'angle du coté j'ai trouvé l'arrête de la pyramide = au Coté x= 76 cm de la base donc un triangle équilatéral et donc 60°

Posté par
pacou
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 19-02-09 à 18:02

gagnéBonjour, Jamo

Je trouve:
x=760 mm
H=537 mm
=60°

Soit S, l'aire d'un des 4 triangles et h1 sa hauteur
S=\frac{h_1 x}{2}

h1=\frac{2S}{x}

=2\arctan \frac{x}{2h_1}

H=\sqrt{h_1^2-(\frac{x}{2})^2}

Reste plus qu'à faire varier x dans un tableau excel, en espérant ne pas m'être plantée quelque part.

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 20-02-09 à 09:51

perduBonjour jamo,

Largeur de la base 800mm.
Hauteur 480mm.
Angle au sommet 65°.

Question subsidiaire : " abats-jour "

Posté par
albatros
pyramide 20-02-09 à 10:08

perduH=537mm
x=760mm
alpha=35°

des abat-jour

Bonne journée

Posté par
castoriginal
Enigmo 89 un problème d'abat-jour (pyramide) 21-02-09 à 18:59

gagnéBonjour,
personnellement, j'ai trouvé:

largeur de la base  x= 760mm
hauteur de la pyramide H= 537mm

angle au sommet d'une face latérale: 60°


Bien à vous

Posté par
veleda
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 22-02-09 à 10:08

gagnébonjour jamo
si h est en mètres la hauteur principale d'un triangle de face latérale  de base x en mètres la surface latérale de l'abat-jour est 4(xh/2)soit 2xh=>2xh=1
hauteur de la pyramide H=h^2-\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4x^2}-\frac{x^2}{4}
le volume V de la pyramide=\frac{1}{3}x^2H=\frac{1}{6}x\sqrt{1-x^4}
sauf erreur de calcul  V est maximum pourx^4=\frac{1}{3}=>x=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}=>H=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt3}}et tan(\frac{\alpha}{2})=x^2=\frac{1}{sqrt{3}}

x=76cm à 1mm. prés par excés
H=53,7cm à 1mm prés par défaut
=60°


ces résultats me laissent perplexes ou bien je me suis trompée dans les calculs ou il s'agit d'un abat-jour pour un lampadaire de taille très imposante
merci pour cet enigmo

Posté par
laotze
re: Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 22-02-09 à 18:58

perduBonjour:

La démo est un peu long à mettre en latex... je mets les réponses et on verra!

la hauteur H0,5699m soit environ 570 mm

La largeur x0,7598m soit environ 760 mm

L'angle = 60°

Posté par
jamilhaddad
Enigmo 89 23-02-09 à 19:20

gagnéBonjour
Largeur de la bsse:    x=760 mm.
Hauteur de la pyramide:H=537 mm.
Angle au sommet:       alpha=60 degrés
V=(x^2)*H*1/3
9V^2=x^4*H^2
H^2=a^2-(x^2)*1/2  Où a désigne l'arête du
                   triangle isocèle de base x.
Or 1=4*1/2*a^2*sin(alpha); a^2=1/2sin(alpha)
. x^2=2a^2(1-cos(alpha))
a^2=x^2/2(1-cos(alpha)=1/2sin(alpha)
x^2=(1-cos(alpha))/sin(alpha)=tan(alpha/2)=t
9V^2=t^2(1/(2*sin(alpha))-t/2)
    =1/4(-t^3+t). Maximum quand t=1/3
/2=30 degrés
x^2=1/3;x=759.8 mm
H^2=0.5*1/3; H=537.3 mm

Posté par
gloubi
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 26-02-09 à 14:58

gagnéBonjour,

x 76 cm
H 53,7 cm
= 60°

Posté par
totti1000
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 01-03-09 à 02:17

perduBonjour Jamo,

Enigmo 89 : Un problème d\'abat-jour

Posté par
Labo
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 02-03-09 à 10:01

perduBonjour jamo
x=√(2/3)m
0,816m<x<0,817m
H=√(1/12)m
0,288m<H<0,289m
67°<<68°

Posté par
13or
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 09-03-09 à 02:16

gagnéx=0,760m
H=0,537m
Alpha=60°

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 09-03-09 à 14:35

Clôture de l'énigme

la solution à ce problème correspondait au cas où les faces triangulaires sont équilatérales, donc un angle de 60°, et un rapport de 2 entre le côté et la hauteur de la pyramide.

Quand on a un peu l'habitude de ce genre de problème d'optimisation de forme, on sentait bien venir cette solution, mais je crois qu'il était préférable de le démontrer !

Parmi les mauvaises réponses, certains ont du faire des petites erreurs de calculs ... dommage !

Posté par
dobdo
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 22-04-16 à 14:13

J'aimerais connaitre l'adresse de votre "décorateur" car il ne doit pas être cher s'il ne vous fait pas payer les chutes de tissus.
En effet, la "bonne réponse" à votre problème en pose un autre:
comment couper ces 4 triangles dans un RECTANGLE de tissu de 1 m² ?
Car la plupart des fabricants d'abat-jour que je connais me font payer les chutes ou me demandent de leur ramener le tissu que je veux. Et dans un rectangle de 1 mètre carré, on ne peut pas découper 4 triangles équilatéraux de 76 cm de côté.

Donc je dirais que le problème est posé bizarrement. Pourquoi impliquer la fabrication d'un objet réel alors que le raisonnement donné juste n'est qu'abstraction mathématique ?
Si on se met dans une posture purement mathématique et qu'on considère un objet purement géométrique (une pyramide), le raisonnement donné "bon" tient complètement la route.
Mais si on veut vraiment fabriquer un abat jour, on se retrouve avec des équations INUTILES de matheux. Et je ne parle même pas des marges nécessaires pour faire les assemblages...

Donc si vous avez trouvé quelqu'un pour fabriquer cet abat jour pour le prix de 1m² de tissu seulement, j'aimerais son contact. Merci!

Posté par
trapangle
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 22-04-16 à 21:03

Bonsoir,

Juste pour info : le mot "rectangle" que tu écris en capitales ne figure pas dans l'énoncé.

Posté par
dpi
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 23-04-16 à 18:55

gagnéBonjour,

En remontant quel plaisir d'avoir eu juste
La découpe optimale d'un patron est un art que de braves tailleurs
pratiquent depuis des  siècles (ainsi que l'utilisation des chutes pour
des accessoires ...)
En  pure mathématique seule la surface de l'objet est demandée ,mais
la remarque de dobdo pourrait faire l'objet d'un autre exercice (que
trapangle mettrait 1 heure maxi à trouver).

Posté par
lacroze
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 25-05-19 à 00:07

Je viens de tomber sur vos calculs et n'étant pas bon en maths, j'ai bien ri avec toutes vos opérations ).
car calculer la taille d'un abat-jour est moins compliqué... heureusement !
et il existe des logiciels spéciaux qui vous calculent tout !

Etant abat-jouriste, cela m'intéresserait de voir le résultat de tous ces calculs et comment mon confrère a pu faire un abat-jour carré de 76cm de base sur 53 de haut avec un  m2 de tissu... Mon logiciel me dit que votre forme nécessiterait 80x139 cm.
Ce qui voudrait dire que la surface utilisée ne serait pas  1m2 mais serait réalisable dans un tissu de  dimension de  1mx140ou150 de large...
Sans doute, ai-je encore des choses à apprendre
Et cet abat-jour est énorme, sans doute pour une boutique, un salon professionnel ?
Je serai heureux d'avoir des nouvelles

Posté par
dpi
re : Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour 05-06-19 à 16:34

gagné>lacroze et dobdo
Comme il pleut,je regarde les anciennes énigmes et on voit bien dans ce cas  l'opposition
maths<>pratique.
La surface des 4 faces triangulaires totalise  1.0043 m² (on a sauté quelques arrondis).
Par contre sans autre collages ou chutes ,le parton nécessite  une pièce de 114x131.7 cm,soit exactement 50% de plus.

Enigmo 89 : Un problème d\'abat-jour

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