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Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite

Posté par
jamo Moderateur
17-02-09 à 11:41

Bonjour,

je vous propose une dernière variante (promis juré ) de mon abat-jour.

Dans cette énigme, l'abat-jour est en forme de pyramide à base carrée avec ses 4 faces latérales des triangles isocèles identiques (donc comme dans l'énigmo 89).

Mais cette fois-ci, le vendeur m'a proposé de me fabriquer mon abat-jour en fixant la longueur totale de l'armature à 2 mètres.
Ainsi, la somme des 4 côtés de la base et des 4 arêtes des triangles qui se rejoignent au sommet est égale à 2 mètres.

Question : quelles sont les dimensions de la pyramide afin que son volume soit maximal, sachant que la somme des 8 arêtes est égale à 2 mètres ?
Vous me donnerez 3 nombres en réponse : la largeur de la base et la hauteur de la pyramide, avec une précision de 1 mm pour ces deux longueurs, ainsi que l'angle au sommet des 4 triangles avec une précision de 1 degré.

Bonne recherche !

Enigmo 91 : Un problème d\'abat-jour, le retour de la suite

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 12:28

gagnéSalut Jamo !

Selon moi les dimensions sont:

H = 21,1 centimètres
x = 23,2 centimètres
\alpha = 51,47 soit 51 degrès en utilisant l'arrondi.

En espérant une nouvelle fois ne pas m'être trompé !

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 12:47

gagnéJe trouve x=23,2cm ; H=21,1cm et alpha=51°

Posté par
matovitch
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 13:25

gagnéBonjour,
Je trouve : H211mm x232mm et 51°
Sauf erreur!

Posté par
manpower
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 14:26

gagnéBonjour,

encore ? Tu n'a donc aucun plafonnier ?
Bon, toujours de la même façon, et sauf erreur, je trouve :
x=\frac{250-50\sqrt{13}}{3}\approx23,2 cm
H=\frac{50\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}\approx21,1 cm
Une arête latérale a=\frac{100}{3}\sqrt{\frac{17}{4}-\sqrt{13}}, puis un angle
\alpha=2Arcsin\frac{x}{2a}\approx51°

Le volume total sera approximativement de 3802,26 cm3.

Merci pour cette série...

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 15:56

gagnéBonjour Jamo,

ma réponse:
   largeur de la base...........x = 23,2 cm
   hauteur de la pyramide....H = 21,1 cm
   angle au sommet............ = 51°

x est la largeur de la base
c est l'autre côté du triangle
H est la hauteur de la pyramide
V est le volume de la pyramide

4(x+c)=200    x+c=50    c=50-x

\rm H^2 = c^2 - \frac{x^2}{2} = \frac{x^2-200x+5000}{2}

\rm V = \frac{x^2H}{3}

\rm V^2 = \frac{x^4H^2}{9}

\rm V^2 = \frac{x^4(x^2-200x+5000)}{18}

\rm (V^2)' = \frac{x^3(3x^2-500x+10000)}{9}

la dérivée s'annule pour 2 valeurs, une seule est à retenir

\rm x = \frac{250-50\sqrt{13}}{3} = 23,2408120756

\rm Hauteur = 21,11839164 cm

\rm Volume = 3802,263568 cm^3

\rm angle = 51,47624677 degres

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 18:20

gagnéBonjour Jamo...

décidément, vous allez remplir votre appartement d'abat-jour (pas de "s" a priori puisque "abat" vient d'un verbe et que "jour" est fatalement au singulier, représentant la clarté, donc LE jour... enfin je crois !)

On procède comme au 89.
Mais cette fois la contrainte est : 4x+4\sqrt{h^2+\frac{x^2}{2}}=2
Cela conduit à la relation {*} : 4h^2=1-4x+2x^2

Ensuite, on veut toujours rendre x^4h^2 maximal... ou mieux 4x^4h^2 maximal
Cela nous conduit à chercher le maximum de la fonction f(x)=x^4-4x^5+2x^6

Quelques contraintes cependant... il est clair que x doit être entre 0 et 0,5 puisque 4x < 2
Par ailleurs, le second membre de {*} doit être positif... cela conduit à situer x entre 0 et \frac{2-\sqrt{2}}{2} qui vaut environ 0,30.

Dans cet intervalle, on trouve un maximum de la fonction f pour la valeur \fbox{x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}}

En remplaçant dans {*} cela nous conduit à \fbox{h=\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{6}}

Puis en utilisant la même relation que dans le 89, mais avec ces valeurs de x et de h, on obtient :
tan(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{5-\sqrt{13}}{6}} et donc \fbox{\alpha=2arctan(\sqrt{\frac{5-\sqrt{13}}{6}})}.

En prenant des valeurs approchées de tout ça, on obtient :
x 232 mm
h 211 mm
51°

C'est un peu plus raisonnable comme taille d'abat-jour.

Amicalement,

Alain

Posté par
geo3
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 19:51

gagnéBonjour
V = x².(1-4x+2x²)/6
x=232mm
H=211mm
alpha = 51°
A+

Posté par
torio
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 21:14

perduA+
Torio

Enigmo 91 : Un problème d\'abat-jour, le retour de la suite

Posté par
caylus
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 21:18

gagnéBonsoir Jamo,
x=0,232 m
H=0,211 m
Alpha=51°
Merci pour l'énigme

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 17-02-09 à 21:29

gagnébonjour
le côté de la base est 232 millimètres
la hauteur de la pyramide est 211 millimètres
l'angle au sommet de chacun des triangles isocèles latéraux est 51 degrés

Posté par
evariste
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 18-02-09 à 16:32

perdulargeur de la base : 28,9 cm avec une précision de 1 mm
hauteur de la pyramide : 16,7 cm avec une précision de 1 mm
angle au sommet des 4 triangles: 32 degrés  avec une précision de 1 degré.

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 18-02-09 à 16:49

gagnéEnigmo 91

Salut jamo

Pour la largeur de la base 232 mm , pour la hauteur 211 mm

et pour l'angle alpha 51°

Posté par
dpi
armature de la pyramide 19-02-09 à 16:32

perdu1/je pars de l'idée que la solution du pb précédent donne une loi :
Pour obtenir le plus grand volume d'une pyramide avec une surface donnée il faut des triangles équilatéraux.
2/une armature de 2 m donnera donc des arrêtes de 200/8 = 25cm =x
3/avec pythagore H= 17.7 cm et alpha 60°

Posté par
pacou
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 19-02-09 à 19:01

gagnéBonjour, Jamo

Les dimensions de la pyramide pour que son volume soit maximal sont:

x=232mm
H=211 mm
=51°

Merci pour l'énigme.

Posté par
veleda
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 20-02-09 à 07:17

gagnébonjour jamo,
voici mes réponses
x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}m soit232mm à 1mm prés par défaut
H=211mmà 1mm prés par défaut
\alpha=51°à 1 degré prés par défaut

merci pour cet enigmo  ,moi qui n'aime pas les calculs j'ai du faire un effort j'espère que ce n'est pas pour un poisson

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 21-02-09 à 10:19

perduBonjour jamo,

Largeur de la base 232mm.
Hauteur de la pyramide 212mm.
Angle au sommet 46°8 soit 47°.

Posté par
jamilhaddad
Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour 21-02-09 à 13:51

perduBonjour
x=232 mm (avec une précision de 1mm)
H=211 mm (avec une précision de 1mm)
L'angle au sommetest de 47 degrés(avec une précision de 1degré).

Soit a l'arête de la pyramide : 4a+4x=2 mètres.  
H2=a2-x2/2=(2x2-4x+1)/4
3V=base.H=x2.H
y=4(3V)2=x4(2x2-4x+1)
y'=0 pour x= =0.232408 m
V maximum pour x=232,4 mm
  ; H2=a2-x2/2 donne H=211,18 mm
tan(alfa/2)=x/2a=0.434 ;
alfa=46.9469
On prend alfa=47 degrés.  
  

Posté par
castoriginal
Enigmo 91 problème d'abat-jour (longueur des arêtes) 21-02-09 à 23:44

perduBonsoir,

cette fois-ci, il vient comme réponses:

largeur de la base x=230mm

hauteur de la pyramide H=216mm

et angle au sommet d'un triangle de face 50,4°

Bonne nuit

Posté par
albatros
Pyramide 23-02-09 à 06:46

perdux=232mm
H=212mm
alpha=29°

Posté par
rogerd
enigmo91 23-02-09 à 18:11

gagnérebonjour Jamo

Cette fois-ci je trouve

x=0,232 mètres à 1 mm près
H=0,211 mètres à 1 mm près
alpha=51 degrés à 1 degré près

Posté par
laotze
re: Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 23-02-09 à 21:10

gagnéBonsoir:

La hauteur H 0,2112 m soit environ 211 mm

La base x 0,2324 m soit environ 232 mm

L'angle 51,48° soit environ 51°

Merci... pour le poisson!
(je ne me sens pas avec des valeurs à la limite d'"arrondir" et de "tronquer"... j'ai pris le risque de 10% de me tromper en prenant 4 chiffres significatifs, c'est un pari)

Posté par
gloubi
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 26-02-09 à 15:17

perduBonjour,

x = 25 cm
H 17,7 cm
= 60°

Posté par
totti1000
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 01-03-09 à 02:22

perduBonjour Jamo,

Enigmo 91 : Un problème d\'abat-jour, le retour de la suite

Posté par
mdx
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 02-03-09 à 00:43

gagnéH = 211 mm
x = 232 mm
= 51°

Posté par
Labo
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 02-03-09 à 23:03

gagnébonjour Jamo,
x=\frac{5-\sqr{13}}{6}m
0,232m<x<0,233m
H=\frac{\sqr{-2+\sqr{13}}}{6}m
0,211m<H<0,212m
51°<<52°

Posté par
rezoons
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 03-03-09 à 13:43

gagnéBonjour ,
je trouve:
-un angle d'environ 51°
-la larguer de la base d'environ 232mm
-la hauteur d'environ 211mm

Posté par
13or
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 09-03-09 à 03:39

gagnéx=0,232m
H=0,211m
alpha=51°

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 91 : Un problème d'abat-jour, le retour de la suite 09-03-09 à 14:42

Clôture de l'énigme

Après avoir fait les deux énigmes précédentes, je me suis posé la question si on trouvait encore des triangles équilatéraux si on cherchait à optimiser les longueurs des arêtes et non plus la surface.

Et comme la réponse est non, alors j'ai proposé cette énigme.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 109:48:44.
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