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Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille

Posté par
jamo Moderateur 25-02-09 à 16:58

Bonjour,

j'avais promis d'arrêter la série des problèmes sur mon abat-jour, mais rassurez-vous, il s'agit ici d'un nouveau type de problème !

Finalement, cette histoire de passer à des ampoules "basse consommation" n'est pas une bonne idée : mes abat-jour ont été envahi par des araignées attirées par la douce chaleur et par le fait que la lumière attire les insectes.

Commençons par mon abat-jour en forme de pyramide à base carrée, de hauteur 40cm et de largeur de base 30cm. L'araignée est située a un des coins du carré de base, et un moustique vient de se faire prendre dans la toile dans le coin opposé (les deux positions sont indiquées par une croix rouge).
L'araignée se lance alors en direction du moustique pour n'en faire qu'une bouchée, mais bien entendu elle doit le faire le plus rapidement possible en se déplaçant sur les faces de l'abat-jour.

Question : quelle est la longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).

Important : je rappelle que l'abat-jour n'est constitué que des quatre triangles, il n'est pas possible de se déplacer sur la base carrée.

Bonne recherche !

Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille

Posté par
MatheuxMatoure : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 17:32

gagnéBonjour Jamo

Si on appelle A et M les positions respectives de l'araignée et du moustique, notons aussi S le sommet de la pyramide et B un des autres coins du carré de base.

Le trajet de l'araignée doit couper l'arête BS en un point H et le trajet aura pour longueur AH+HS, ou encore 2AH par symétrie du problème.

En se plaçant dans le triangle ASB, il est clair que AH sera minimale si H est le pied de la hauteur issue de A.

Des coupes astucieuses de la pyramide, quelques applications du théorème de pythagore et des relations trigonométriques dans des triangles rectangles nous donnent pour longueur de hauteur issue de A dans ce triangle : AH=30\sqrt{\frac{73}{82}}

Il reste à multiplier ce résultat par 2 pour avoir le parcours minimal de l'araignée, en centimètres et arrondi à deux décimales : \fbox{56,61 cm}

Alain

Posté par
Nofutur2re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 18:08

gagnéJe trouve L=56,61 cm...On verra bien!!

Posté par
Daniel62re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 19:05

gagnéBonjour Jamo,


ma réponse:

  Longueur du trajet le plus court =

    4$ \rm \frac{30.sqrt{5986}}{41} = \fbox{56,61 cm}

Posté par
link224re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 19:22

gagnéSalut jamo.

Le chemin le plus court a pour longueur 56.61cm.

@+ et merci pour l'énigme.

Posté par
yoyodadare : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 19:51

gagnéSalut Jamo, et merci pour cette nouvelle énigme lumineuse !

Pour moi la distance minimale entre l'araignée et le moustique, en parcourant la surface de l'abat jour est:

d = 56,61 centimètres en arrondissant à 10^-2 centimètres près.
En espérant que cela soit la bonne réponse !

Posté par
matovitchre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 20:24

gagnéBonjour !
Je trouve 56.61cm.
Sauf erreur !

Posté par
albatrosAraignée 25-02-09 à 20:42

perduRéponse : 55,62 cm

Posté par
pacoure : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 20:51

gagnéBonjour, Jamo

Le longueur du trajet le plus court est 56,61 cm

Merci pour l'énigme.

Posté par
geo3re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 20:53

gagnéBonsoir
Je crois bien que cela fait  56,61 cm
A+

Posté par
fennecre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 21:50

gagnébonsoir

je trouve 56,61 cm : c'est la hauteur du triangle isocèle issue du coin du carré de la base, ensuite multipliée par 2

Posté par
caylusre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 22:05

gagnéBonsoir Jamo,

56,61 cm
Merci pour l'énigme.

Posté par
Supernickre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 23:05

perdu55,43m?

Posté par
akub-bkubre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 25-02-09 à 23:54

gagnéBonjour jamo, bonjour à tous

Je dirai : 56,61cm en espérant ne pas m'être trompé dans mes calculs

Merci pour l'énigme. A+

Posté par
castoriginalEnigmo 92 - Abat-jour champ de bataille 26-02-09 à 08:53

gagnéBonjour,

Si A est le point de départ de l'araignée et B le point de position du moustique; le problème consiste à trouver un point G de l'arête de la pyramide qui n'est pas occupée. La distance à parcourir sera AG+BG et devra être minimale.
Dans un système d'axes rectangulaires à trois dimensions, l'arête de la pyramide est définie par l'intersection des deux plans des faces adjacentes.
Les équations de ces deux plans sont celles des droites représentant leur trace dans les plans (x,z) et (y,z).
Soit  8x+3z-240=0 et 8y+3z-240=0 ces équations.
Pour un point G de cote z choisie, il vient y(G)= 30-3/8z et x(G)=30-3/8z

Si on fait varier dans un tableur Excel la cote z, on définit x(G) et y(G)
ainsi que BG= racine carrée de la somme des carrés des différences des cotes x,y,z des points B et G
de même pour GA. On somme BG ET GA
Il vient un minimum qui vaut 56,61cm de trajet

Bien à vous

Posté par
veledare : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 11:59

gagnébonjour jamo
soit g la longueur d'une arête de la pyramide issue du sommet S g=\sqrt{40^2+\frac{30^2}{2}}=\sqrt{2050}
si\alphaest l'angle au sommet principal d'un triangleisocèle face latérale on a cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{15}{\sqrt{2050}}
si l'on met à plat la surface latérale de la pyramide en coupant par exemple suivant l'arête SA joignant le sommet S à l'araignée A on obtient 4 triangles isocèles égaux
              S                          SA=SB=Sm=g  (m étant le moustique)
                                        
                               \widehat{ASB}=\widehat{BSM}= \alpha
A............I............m

               B
le plus court chemin de A à m est porté par la la droite Am perpendiculaire en I à SB
Am=2AI=2gsin(\alpha)=2sqrt{2050}sin(2arccos(\frac{15}{sqrt{2050}}))=56,61cm
le trajet le plus court sur la surface de l'abat jour mesure 56,61cm
merci pour cet enigmo
              


            

Posté par
veledare : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 12:04

gagnéje crois que je me suis trompée j'ai changé de notation en cours de route,je n'aime vraiment pas les calculs,je n'ai pas le courage de vérifier tant pis

Posté par
Aurelien_re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 15:01

gagné56,18cm

Posté par
Aurelien_re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 15:15

gagnépardon, 56,61cm !!!

Posté par
gloubire : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 15:29

perduBonjour,

Distance parcourue 27,81 cm.

Posté par
bapader*challenge en cours* 26-02-09 à 16:52

gagnéJe calcule des hauteurs dans le triangle que constitue une face.
Je trouve que le chemin parcouru est de 60\sqrt{\frac{73}{82}} cm, soit environ 56.61 cm.
BA.

Posté par
toriore : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 18:08

perdu19.87767469 cm = 19.88 cm
A+
Torio

Posté par
evaristere : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 26-02-09 à 19:34

gagné56,61 cm

Posté par
Poldenysre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 27-02-09 à 11:39

gagnéEnigmo 92

Trajet perpendiculaire à l'arête

distance  :  56,61 cm (à 0,01 près)

Posté par
plumemeteorere : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 27-02-09 à 19:24

gagnébonjour Jamo
l'araignée parcourt 56,61 cm
un trajet équivalent à celui de l'araignée joint les extrémités de deux faces consécutives étalées
carré de la hauteur latérale : (40²+15)² = 1825
carré d'une arête : 1825+15² = 2050
soit h la hauteur d'un triangle demi-face
h²*2050 = 1825*225 = carré du double de l'aire du triangle
h = racine carrée de (1825*225/2050) = 14.15291
les hauteurs réunies des demi-triangles du milieu de la figure égalent la moitié du trajet
14.15291*4 = 56.61164

Posté par
billyboy9merci pour l'enigme en voila la solution 27-02-09 à 21:39

perduSoit A le point où se trouve le moustique, soit C le point où se trouve l'araignée,soit E, le sommet de la pyramide.Considérons AEB et AEC.
Le chemin le plus court entre l'araignée et le moustique passe par les médiatrices, passant par (EB) issue de C et de A.

On calcule dans un premier temps, la longueur de la demi-diagonale du carré de base(AH).

AH 2 = 15 2 + 15 2

On trouve AH=152

Calculons l'angle B
tan B= 40/(152); on trouve l'angle B=62°,an en déduit l'angle A=62°.

Dans un second temps, considérons H', l'intersection des 2 médiatrices.

Dans le triangle rectangle AH'B:
Angle B=62° ; Angle H'=90°Angle A=28°

cos A=(AH')/(AB) (AH')/30(AH')=30*cos28°=26,48cm

On obtient le chemin le plus court qui correspond à l'addition des 2 médiatrices:
26,48*2=  52,96cm

merci pour l\'enigme en voila la solution

Posté par
LEGMATHre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 28-02-09 à 09:46

gagnéBonjour jamo,

La longueur du trajet le plus court est de 56,61cm.

Posté par
programathsLes hauteurs relatives à l'arrête commune des deux faces ! 28-02-09 à 17:13

gagnéLe chemin le plus court entre deux points est la ligne droite !
Et le chemin le plus court entre un point et une droite est la perpendiculaire à la droite passant par le point.

En gros, on doit calculer la hauteur d'un triangle isocèle de base 30 et de côté b

b est calculable ainsi :
b^2=(15\sqrt{2})^2+40^2
b=\sqrt{450+1600}=\sqrt{2050}=5\sqrt{82}

Du croquis on obtient comme relations:
\\ \begin{eqnarray} \\ 30^2&=&x^2+h^2\\ \\ b^2&=&h^2+(b-x)^2\\ \\ \end{eqnarray} \\

Réarangées pour isoler h:
\\ \begin{eqnarray} \\ h^2&=&30^2-x^2\\ \\ h^2&=&b^2-(b-x)^2\\ \\ \end{eqnarray} \\

Soit après simplification :

\\ \begin{eqnarray} \\ h^2&=&30^2-x^2\\ \\ h^2&=&-x^2+2bx\\ \\ \end{eqnarray} \\

Ce qui signifie que les deux membres de droite sont égaux :
\\ 30^2-x^2=-x^2+2bx \\
Ce qui se réduit à :
\\ 900=2bx \\

Ou, sachant que b est une constante :
x=\frac{450}{\sqrt{2050}}
On remplace x par sa valeur dans h^2=30^2-x^2 :
h^2=900-\left(\frac{450}{5\sqrt{82}}\right)^2

Un peu d'élagage est nécessaire :
\\ \begin{eqnarray} \\ h^2&=&900-\left(\frac{90}{\sqrt{82}}\right)^2\\ \\ &=&900-\frac{8100}{82}\\ \\ &=&900(1-\frac{9}{82})\\ \\ &\approx&\frac{900*8}{9}\\ \\ &\approx&800 \\ \end{eqnarray} \\

D'où :
h\approx20\sqrt{2}\approx28.28

La solution approximative est : 56,56

La solution calculée est : 56.6116423

La solution est bien comprise entre 60 et 90.5538514

Les hauteurs relatives à l\'arrête commune des deux faces !

Posté par
manpowerre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 28-02-09 à 21:31

gagnéBonsoir,

j'adore la géométrie dans l'espace ! Merci jamo.

En travaillant sur le patron, le plus court chemin étant la ligne droite,
je trouve, avec un peu de trigonométrie, une distance minimale de 60sin(Arccos\frac{3}{sqrt{82}}) soit environ 56,61 cm.

Merci et mort au moustique!

Posté par
lo5707re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 01-03-09 à 12:20

gagnéBonjour,

En développant l'abat-jour en 2D, le chemin le plus court est la ligne droite.
C'est-à-dire la droite DF.
Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille
On a un angle droit en E ainsi qu'en A

La hauteur h d'une face vaut \sqrt(40^2+15^2) = \sqrt(1825)
BC vaut donc \sqrt(h^2+15^2) = \sqrt(2050)
On a sin C = \frac{h}{BC}
Et sin C = \frac{DE}{30}
La longueur recherchée DF = 2DE = 56,61 cm


Merci pour l'énigme.

Posté par
jamilhaddadenigmo 92: champ de bataille 01-03-09 à 16:32

gagnéLa longueur du plus court trajet est 56.61 cm.
Soit A la position de départ de l'araignée, C celle du moustique,B le trosième sommet de la base, S le sommet de la pyramide, I le projeté de S sur la base, AH la perpendiculaire à SB.
AI=152
(SA)^2=(SB)^2=1600+4050=2050
(AB)^2=(SA)^2+(SB)^2-2SA*SB*cos(ASB)                  
  900 = 4100(1-cos(ASB))
cos(ASB)=32/41
AH=SA*sin(ASB)=2050*1-(32/41)^2=28.3058
SH=SC et SH+SC=28.3058*2=56.61 cm
plus court trajet est SHC=56.61 cm

Posté par
totti1000re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 02-03-09 à 15:45

gagnéSalut Jamo,
Je pense que la longueur du trajet le plus court entre les deux points est de 56,61 cm.
Merci pour cette énigme.

Posté par
maher_91re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 02-03-09 à 18:22

perdubonjour Jamo, bonjour à tous,

soit ABC le triangle par lequel l'araignée va passer,
et M un pt de [AC] on cherche la distance minimale BM et ensuite on obtient x=BM*2 (la longeur du trajet le plus court)

AB=AC=45.36cm
ACB=ABC=68.5°
CAB=43°

BM= \sqrt{CM^2-42.732CM+900}
pour BM minimale CM=21.36
donc BM=36.245

d'ou X=72.4919cm

@bientôt

Posté par
Labore : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 02-03-09 à 23:17

gagnéBonjour Jamo,
d=60\sqr{\frac{73}{82}}56,61cm

Posté par
dpichamp de bataille araignée 03-03-09 à 11:53

gagnéL'araignée coupera les deux triangles isocèles par les petites hauteurs et parcourra donc   56,61 cm

Posté par
rezoonsre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 05-03-09 à 20:23

perduBonjour ,
je trouve 56.18cm

Posté par
mirabelle9cubele premier probleme d'abat-jour. du moustique à l'araignée... 05-03-09 à 20:51

perduBonjour.
je crois avoir trouvé la réponse à se problème d'abat-jour.
En le "dépliant", il suffit de considerer la longueur du segment qui va de M à A.
comme résultat, je propose donc: (24*20)/racine(73) comme valeur exacte, soit environ 56,18 cm (en arrondissant au centième comme demandé...)

Posté par
13orre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 09-03-09 à 03:49

gagné56,61 cm

Posté par
Wasiwasa1729re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 11-03-09 à 04:09

perduA la va vite je dirai 56,18 cm.

Merci pour l'énigme.

Posté par
jonjon71re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 13-03-09 à 18:39

gagnéBonjour !

Voici ma réponse :

La longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).

Posté par
jonjon71re : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 13-03-09 à 18:40

gagné
Excusez-moi pour ce qui précède !

La longueur du trajet le plus court entre ces deux points est : 56,61 cm

Merci !

Posté par
jamo Moderateurre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 15-03-09 à 19:06

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 56,61 cm.

Pour trouver la bonne réponse de ce genre d'exercice très classique, il suffit :

- de dessiner le patron du solide ;
- une fois le solide "à plat", de tirer un trait entre les deux points ;
- de calculer la longueur en utilisant des méthodes assez simples (Pythagore, trigo, etc ...) ;
- et surtout d'éviter les erreurs de calculs et d'unités !

Posté par
programathsMauvaise lecture ? 17-03-09 à 14:21

gagnéMerci de bien vouloir relire ma contribution !

La solution calculée est : 56.6116423

Posté par
jamo Moderateurre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 17-03-09 à 19:15

programaths >> ok, j'ai corrigé, je n'avais pas vu ta réponse.

Comme je l'ai déjà dit plusieurs fois, il serait préférable de commencer votre texte en donnant la réponse de manière claire.
Ensuite, si vous voulez détailler, faites-le.
Mais ne donnez pas la réponse noyée au milieu d'une démonstration, ça me fait gagner du temps.

Posté par
MatheuxMatoure : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 17-03-09 à 20:24

gagnéBonsoir Jamo,

d'ailleurs, à ce sujet, peut-on poster déjà la réponse  sans autre explication, et ensuite poster un deuxième message donnant la démonstration (qui est bien plus longue à taper que la simple réponse)...

car c'est quand même plus satisfaisant de donner une méthode (cela permet de les comparer et de voir les plus astucieuses)...

cordialement,

alain

Posté par
jamo Moderateurre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 17-03-09 à 22:16

Bien sûr.

Je ne vérifie que la réponse, et je ne note que le 1er message.

Il est donc tout à fait possible de donner la réponse le plus vite possible, puis de prendre son temps à rédiger la démonstration et la poster plus tard, même plusieurs jours après.

Posté par
colasfoliotre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 18-03-09 à 14:52

56.51cm

Posté par
colasfoliotre : Enigmo 92 : Abat-jour; champ de bataille 18-03-09 à 14:53

56.61cm dsl

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 71:03:22.

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