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Enigmo 93 : Abat-jour; champ de bataille, la suite
Bonjour,
bien entendu, voici la même énigme que la 92 avec l'abat-jour conique.
L'abat-jour a une hauteur de 40cm et un rayon de base de 15cm.
L'araignée est située en un point du cercle de base, et le moustique est situé sur le point diamétralement opposé.
L'objectif est toujours de rejoindre les deux points le plus rapidement possible en se déplacant sur la surface de l'abat-jour.
Question : quelle est la longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).
Important : je rappelle que l'abat-jour n'est constitué que de la surface latérale, il n'est pas possible de se déplacer sur le disque de base.
Bonne recherche ! 
Bonjour Jamo,
Le plus simple est de couper l'abat jour le long d'une génératrice et de l'aplatir sur une table.
On obtient une portion de disque dont le rayon vaut et les deux points A et M (araignée et moustique) sont sur la circonférence de ce disque, l'arc les séparant faisant 15
(la demi circonférence du cercle de base de l'abat-jour).
Sur cette forme plane, la distance la plus courte est ... le segment AM, c'est à dire la corde.
On est donc amené à calculer la longueur d'une corde correspondant à un arc de 15 sur un cercle de rayon .
Le reste est de la géométrie et de la trigonométrie...
Sauf erreur de ma part, la distance minimale pour l'araignée est, en centimètres et arrondie à 2 décimales, environ
Pour information, j'ai trouvé que la valeur exacte de cette distance est : (les angles étant bien entendu en radians)
cordialement,
alain
Je dirais que c'est 85.44m
En posant x le nombre de m qu'il monte avant de tourner, on remarque que plus il monte haut, plus le quart de tour qu'il opérera sera petit et plus la distance sera courte (le déplacement est une fonction affine en fait)
Re-salut Jamo, et merci pour cette nouvelle énigmo (bientôt les 100 !) 
!!
J'ai trouvé celle-ci plus compliquée que la précédente...
Ma réponse est:
La plus courte distance entre l'araignée et le moustique est
d = 44,77 centimètres, en arrondissant au centième de centimètre.
En espérant ne pas m'être trompé !
Salut jamo.
La distance la plus courte entre l'araignée et sa proie est de 44.77cm (arrondie au centième de cm).
@+ et merci pour l'énigme.
bonjour jamo
la surface latérale de l'abat-jour est un secteur circulaire de rayon de longueur d'arc
A et m étant diamétralement opposés sur le cercle de base la corde Am correspond à un angle au centre en degrés
donc longueur de la corde
le trajet le plus court de A à m correspond à la corde Am sa longueur est 44,77cm sauf bien sur erreur de ma part
merci pour cet énigmo
Enigmo 93
Salut jamo , si j'étais araignée j'opterais pour l'orthodromie
distance 44,77 cm (à 0,01 près)
En raisonnant sur le patron du cône (un secteur du disque de rayon ), on a donc à calculer la longueur de la corde qui relie deux points dont la portion de cercle qui les relie mesure
.
Après calculs je trouve que le plus court chemin mesure :
et cela vaut environ 44.77 cm.
BA.
Le chemin le plus court passe par l'intersection de la médiatrice avec le plan conique issue du centre H du cercle de base.
Dans un premier temps, calculons (AB')
tanA=H/r
40/15=8/3 ;Angle A
69°
cosA=(AB')/r(AB')/15
(AB')=15*cosA ; (AB')5,267 cm
Dans un second temps, calculons (AB), le demi périmètre, du cercle de rayon r.
(AB)=*r=1547,12 cm
on a le demi grand axe d'un ellipse (AB') et l'axe de l'ellipse (AB)
on calcule alors le périmètre P d'une demi ellipse de demi grand axe a=(AB)/2=(47,12)/2
de demi petit axe b =(AB')=5,267
P=*
((a2+b2)/2)
On trouve P, la distance la plus courte parcourue entre A et B53,63 cm
La logique est la même que pour l'énigme précédente.
Il "suffit" de faire le patron puis de tracer la ligne droite et faire quelques calculs.
Ce sont trois vues du cône :
Côté, dessus et patron.
En rouge l'arrête la plus à l'est.
En bleu le chemin à parcourir.
J'ai utilisé un solveur pour la partie trigonométrie : 
Pythagore pour l'arrête rouge.
La réponse est : 44,7708 cm
Tout comme l'énigme précédente, on se retrouve très près de la base...
Bonsoir,
Soit 0 le centre de la base du cône et C le sommet du cône.
On prend A comme point de départ de l'araignée et B le point où se trouve le moustique.
Dans le plan perpendiculaire à AB contenant OC, l'arête du cône issue de C coupe la base du cône en D.
Comme on a une symétrie par rapport à ce plan, le point G de la courbe AGB donnant le trajet le plus court appartient, raisonnablement, à la perpendiculaire issue de O sur l'arête CD.
Dans le système d'axes orthogonaux ayant pour origine le point 0, OAB étant l'axe des x, OD l'axe des y et OC l'axe des z; l'équation de la droite CD est z=-8/3y+40
La droite OG perpendiculaire à CD a pour équation z=3/8y .
Comme le point G appartient aux deux droites ci-dessus, on trouve ses
coordonnées y(G) = 40*24/73 et z(G)=360/73
La distance OG vaut OG=((360/73)^2+(960/73)^2)^0,5
soit OG=14,0449 cm
Dans le plan AGBO la courbe de trajet le plus court est une ellipse dont
le demi-grand axe a = OA = 15cm et le demi petit-axe vaut OG = b =14,0449cm
la série de Gauss-Kummer donne la longueur de l'ellipse en fonction de
u=a-b u=15-14,0449=0,0328835
a+b 15+14,0449
Comme u est très petit, seuls les deux premiers termes de la série sont significatifs L(trajet) = pi/2(a+b)( 1 +(1/2)^2*u^2+.....)
On trouve dès lors L = 45,62cm
Bien à vous
Bonsoir,
toujours via le patron, la longueur d'une génératrice est de , l'angle du secteur circulaire vaut
,
ce qui me donne alors une distance de pour deux points diamétralement opposés, soit environ 44,77 cm.
Merci pour l'Enigmo.
Et Spider-Man dans tout ça ?
Bonsoir
Du centre de la base, On mène la perpendiculaire à une génératrice du cône, soit b sa longueur.
1600+225=(génératrice)^2=1825
b*1825=40*15=600. b=14.04493766
La trajectoire parecourue est une demi_ellipse
de dimmensions a=15 cm et b=14.0449 cm
La longueur du trajet le plus court sera: 0.5**(15+14.0449)=45.62 cm.
Merci
Salut Jamo,
Je pense que la longueur du trajet le plus court entre les deux points est de 44,77 cm.
Merci pour cette énigme.
Pour le cône l'araignée coupera par une corde le secteur circulaire développé et fera 44 ,77cm de parcours
Bonjour
Pour un cône de rayon de base r et de hauteur H, la distance cherchée vaut :
L = 2.r.(1+(H/r)²).sin(pi/(2(1+(H/r)²)))
Avec r = 15 cm et H = 40 cm, on trouve une valeur approchée de L = 44,77 cm
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En matière de calcul de distance minimale, ce problème m'inspire celui-ci basé sur un tore.
Le but de l'exercice est d'exprimer, en fonction de R et r, la distance minimale entre deux points M et N du tore les plus éloignés possibles l'un de l'autre, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
J'ai bien une idée de la trajectoire MN, mais le patron d'un tore n'étant pas dévellopable, je ne parviens pas à exprimer cette distance minimale en fonction de R er r …
Je me demande s'il n'y a pas un lien avec les cercles de Villarceau, ou s'il ne faut pas utiliser les intégrales elliptiques, qui sont au-dessus de mon niveau.
Pourriez-vous me donner le moyen de calculer la distance (minimale) entre deux points les plus éloignés du tore, merci
Rudy
Clôture de l'énigme
La bonne réponse était : 44,77 cm.
Méthode identique que l'énigme précédente.
Et pour le mois de février, c'est geo3 qui remporte les énigmes, avec un sans-faute ! 
De plus, c'est sa première victoire aux énigmes !
Bonsoir
Merci à Jamo pour toutes ces enigmes
Depuis 2005 c'est la 1ère fois mais il faut toujours une 1ère fois
Il faut dire que les enigmes de ce mois de février faisait plus appel à la géométrie branche que je préfère.
A+
Bonsoir,
Oui, moi aussi, Géo3... mais j'ai découvert ce site par hasard et tardivement et ai pris pas mal de retard dans le délai de réponse...
Et merci aussi à Jamo et à l'équipe pour ces énigmes permettant de se délasser en faisant des maths.
En tout cas, félicitations Geo3 !
MM
Bonjour à tous,
Bravo Géo3
et comme dirait Serge Lama:
Ne t'en fais pas non ne t'en fais pas
C'est toujours comme ça la première fois
D'abord on dit rien puis on se dit tout
On a peur des chiens et on a peur du loup
Et tout là-haut tout comme un drapeau...
Je viens de calculer (un bien grand mot), la distance parcourue lorsque l'on passe par le plus grand cercle : pi(R+r)
Et celle quand on passe par le plus petit cercle : 2pir+pi(R-r)=pi(R+r)
Ce sont les mêmes distances.
Ensuite, j'ai remarqué qu'en prenant un angle de 135° ou de on obtient le chemin rouge qui est celui le plus court lorsque l'on se contraint à utiliser trois demis cercles.
Une façon de faire serait de faire glisser le point d'arrivé du point de départ jusqu'au point d'arrivé et d'observer les valeurs de l'angle donnant le chemin le plus court.
Ensuite reporter chacun des point sur le tore.
Je pense à deux demi ellipses tangentes aux points M et N ainsi qu'au point montré par la flèche droite du grand rayon dans votre coupe.
merci programaths de me répondre
Je suis arrivé à pi(R+0,78r) en étant certain que ce n'est pas la distance minimale
Je posterai plus tard ce à quoi je suis arrivé
Rudy
Bonjour programaths
En procedant comme tu l as fait, j avais trouve, non pas un angle de pi/4, mais un angle de 39,54°
En appelant x l angle de la fig.1, j exprime la longueur y des trois arcs de cercles, les deux extremes de rayon r et d angle pi-x, et le demi cercle du milieu de rayon R - rcosx
y = r(pi-x)+pi(R-rcosx)+r(pi-x) = pi(R+r(2-2x/pi-cosx))
La fonction f(x) = 2-2x/pi-cosx passe par un minimum pour x = arcsin(2/pi) = 39,54°
f(arcsin(2/pi)) = 2-(2/pi)arcsin(2/pi)-(1-(2/pi)²)^(1/2) = 0,79
Cette valeur L = pi( R + 0,79r ) n est surement pas la plus courte
j imagine qu'on doit pouvoir la diminuer avec, par exemple, la trajectoire indiquee par la fig.2, mais je ne sais pas le faire
Maintenant, il est possible que ce ne soit pas , non plus, la trajectoire la plus courte
Rudy
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0Temps de réponse moyen : 75:59:39.
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