Considérons les valeurs que prend 1/(n(n+1)) lorsque n vaut successivement 1 puis 2 puis 3 ...
Pour n = 1, on a: 1/(n(n+1)) = 1/2
Pour n = 2, on a: 1/(n(n+1)) = 1/6
Pour n = 3, on a: 1/(n(n+1)) = 1/12
...
On voit que 1/(n(n+1)) prend alors successivement les valeurs de chaque terme de la somme à calculer.
Si on fait la somme des 2 premiers termes (donc pour n = 1 et n = 2):
(1/2) + (1/6) = 2/3
Si on fait la somme des 3 premiers termes (donc pour n = 1 et n = 2 et n = 3) :
(1/2) + (1/6) + (1/12) = 3/4
Si on fait la somme des 4 premiers termes (donc pour n = 1 et n = 2 et n = 3 et n = 4) :
(1/2) + (1/6) + (1/12) + (1/20) = 4/5
On voit donc que la somme de n termes donne un résultat = n/(n+1)
Avec n = 4, on a n+1 = 5 et le résutat de la somme de 4 termes est bien de n/(n+1) = 4/5
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On demande de calculer la somme:
1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000
Chaque terme de la somme est de la forme 1/(n.(n+1))
depuis n = 1 (on a alors le terme 1/(n.(n+1)) = 1/(1X(1+1)) = 1/2)
jusque n = 999 (on a alors le terme 1/(n.(n+1)) = 1/(999X(999+1)) = 1/999000)
Le résultat de 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000 est donc n/(n+1) mais avec n = 999, soit 999/(999+1) = 999/1000
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Je ne sais pas si tu as déjà appris ce qu'il faut pour comprendre la méthode que j'ai utilisée.