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Niveau Reprise d'études
Ensemble convexe
Posté par PiggieLouis
Bonjour,
J'ai un gros problème de compréhension sur la correction d'un exercice, voici une partie de l'énoncé/corrigé :
1) Soit x,y ∈ R . Montrer ( θx + (1 − θ ) y )2 ≤ θx2 + (1 − θ ) y2 pour tout θ ∈ [0 , 1].
En passant toute l'expression d'un côté on arrive à f ( x,y,θ ) = θ (1 − θ )( x − y )2 qui est ici forcément positif ou nul.
2) Parmi les sous-ensembles suivants de R 2 et de R 3 , lesquels sont bornés ou convexes ?
a) { ( x1 ,x2) ∈ R2 : x12 + x2 ≤ 1 }
Soit ( x1 ,x2 ) ∈ C 1 et ( y1 ,y2 ) ∈ C 1 , nous définissons zi ( θ ) = θxi+ (1 − θ ) yi avec i ∈ { 1 , 2 } . Pour montrer que C 1 est convexe, il faut montrer que, pour θ ∈ [0 , 1] ( z1 ( θ ) ,z2 ( θ )) ∈ C 1 .
z1 ( θ )2 + z2 ( θ ) = ( θx1 + (1 − θ ) y1 )2 + θx2 + (1 − θ ) y2
≤ θx 12 + (1 − θ ) y12 + θx2 + (1 − θ ) y2
≤ 1
Je ne comprends littéralement rien de ce que l'on fait pour prouver que l'ensemble est convexe, pourquoi reprend on la forme de la fonction de la question 1 quand aucune indication n'est donnée sur son lien avec les ensembles de q2. Si vous pouvez m'éclairer je vous en remercierai éternellement.
De toute façon c'est de la topologie avec convexité d'un ensemble... de mon point de vue l'énnoncé n'est pas clair car rien n'indique que j'ai à utiliser z du 1).
PiggieLouis @ 24-04-2018 à 21:32
1) Soit x,y ∈ R . Montrer ( θx + (1 − θ ) y )2 ≤ θx2 + (1 − θ ) y2 pour tout θ ∈ [0 , 1].
2) Parmi les sous-ensembles suivants de R 2 et de R 3 , lesquels sont bornés ou convexes ?
a) { ( x1 ,x2) ∈ R2 : x12 + x2 ≤ 1 }
Soit ( x1 ,x2 ) ∈ C 1 et ( y1 ,y2 ) ∈ C 1 , nous définissons zi ( θ ) = θxi+ (1 − θ ) yi avec i ∈ { 1 , 2 } . Pour montrer que C 1 est convexe, il faut montrer que, pour θ ∈ [0 , 1] ( z1 ( θ ) ,z2 ( θ )) ∈ C 1 .
z1 ( θ )2 + z2 ( θ ) = ( θx1 + (1 − θ ) y1 )2 + θx2 + (1 − θ ) y2
≤ θx 12 + (1 − θ ) y12 + θx2 + (1 − θ ) y2
≤ 1
Je ne comprends littéralement rien de ce que l'on fait pour prouver que l'ensemble est convexe, pourquoi reprend on la forme de la fonction de la question 1 quand aucune indication n'est donnée sur son lien avec les ensembles de q2. Si vous pouvez m'éclairer je vous en remercierai éternellement.
je retrouve bien 1/ dans 2/ ...1) Soit x,y ∈ R . Montrer ( θx + (1 − θ ) y )2 ≤ θx2 + (1 − θ ) y2 pour tout θ ∈ [0 , 1].
2) Parmi les sous-ensembles suivants de R 2 et de R 3 , lesquels sont bornés ou convexes ?
a) { ( x1 ,x2) ∈ R2 : x12 + x2 ≤ 1 }
Soit ( x1 ,x2 ) ∈ C 1 et ( y1 ,y2 ) ∈ C 1 , nous définissons zi ( θ ) = θxi+ (1 − θ ) yi avec i ∈ { 1 , 2 } . Pour montrer que C 1 est convexe, il faut montrer que, pour θ ∈ [0 , 1] ( z1 ( θ ) ,z2 ( θ )) ∈ C 1 .
z1 ( θ )2 + z2 ( θ ) = ( θx1 + (1 − θ ) y1 )2 + θx2 + (1 − θ ) y2
≤ θx 12 + (1 − θ ) y12 + θx2 + (1 − θ ) y2
≤ 1
Je ne comprends littéralement rien de ce que l'on fait pour prouver que l'ensemble est convexe, pourquoi reprend on la forme de la fonction de la question 1 quand aucune indication n'est donnée sur son lien avec les ensembles de q2. Si vous pouvez m'éclairer je vous en remercierai éternellement.
Attention je vais m'exprimer en termes peux rigoureux.
Trace une parabole "tourner vers le haut" par exemple y= x^2
Choisie deux points A et B d'abscisse x et y (par exemple 2 et 3) sur la parabole et trace le segment qui joint ces deux points de coordonnées (x, x^2) et (y,y^2).
Pour une abscisse donné (par exemple 2.5) le point correspondant du segment est "au dessus de la parabole"
Révise le barycentre de deux points sur un segment :
désigne le barycentre d'un point du segment pour
Regarde ensuite fonction convexe sur Wikipédia.
Merci Javal, ma confusion provenait de ce \theta \, x\, +\, (\, 1\, -\, \theta \, )\, y que nous n'avions pas traité en cours. Bonne journée