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Niveau autre
Ensemble d'ensemble : Incompréhension
Posté par Nightmare
Bonsoir à tous 
Je me suis trouvé face à une interrogation il n'y a pas longtemps à laquelle je n'arrive pas à répondre, surement par manque de connaissance. Peut-être des spécialistes de la théorie des ensembles pourront me répondre.
Voici mon problème :
Considèrons une petite boite avec des chaussettes dedans.
Mettons cette petite boite dans une plus grosse boite vide à la base.
Naturellement, nous pouvons dire que la grosse boite contient les chaussettes et donc que les chaussettes sont des éléments de la grosse boite.
Plus mathématiquement, cet énoncé pourrait se traduire par : Si l'on prend un ensemble A quelconque et qu'on crée un ensemble B contenant A, alors B contient tout les éléments de A, puisqu'il contient A lui-même.
Evidement cet énoncé est faux, puisqu'il suffit de prendre l'ensemble .
D'après ce qu'on vient de dire, on aurait quelque soit x réel, ce qui ne veut rien dire bien sûr.
Ainsi, expérimentalement cet énoncé semble exact et mathématiquement il ne tient plus la route.
D'où vient le problème?
Merci à tous
Jord
je ne comprend pas pourquoi x=
?
je dirais plutôt x inclu dans
quelque chose m'échappe dans ton énoncé
Oui je n'ai pas dû être clair.
On considère :
D'après ce que j'ai dit, toute chaussette est un élément de la grosse boite, c'est à dire que tout réel est un élément de , or le seul élément de cet ensemble est
...
il dois me manquer des bases par ce que la j'ai pas mis mes bottes 
je ne sais pas ce que c'est que {R}
Bonjour , si tu considères l'ensemble {R}, tu ne peux pas dire qu'il contient l'ensemble des réels. Il s'agit d'un ensemble qui ne possède qu'un élément.
Par exemple, si tu prends l'ensemble {{1,2},{3,4,5}}, cet ensemble possède exactement deux éléments qui sont {1,2} et {3,4,5}, mais tu ne peux en aucun cas dire que 1 en est un élément.
De même, dans ta grosse boîte, il n'y a qu'un seul élément (la petite boîte), les chaussettes ne sont pas des éléments de la grosse boîte, mais des éléments de la petite boîte, elle-même unique élément de la grosse boîte.
En espérant avoir été clair...
Fractal 
Merci de ta réponse Fractal
Le problème persiste, car qu'est-ce qui nous permet d'affirmer que les chaussettes ne sont pas des éléments de la grosse boite?
L'analogie avec les boîtes et les chaussettes n'est peut-être pas parfaite, mais tu peux dire que quand tu ouvres la grosse boîte, tu ne vois pas de chaussette, donc elles ne sont pas éléments de la grosse boîte. Les éléments d'un ensemble sont situés directement dans cet ensemble, les chaussettes ne sont pas directement dans la grosse boîte mais on est obligés d'ouvrir une autre boîte (la petite) pour pouvoir y accéder. En ce sens, les chaussettes ne sont pas des éléments de la grosse boîte, selon la définition mathématique d'un ensemble et d'un élément, qui diffère de la notion intuitive qu'on pourrait en avoir.
Fractal
Je ne saurais pas définir un ensemble mais toujours est-il que je suis à peu près persuadé que dans la théorie ZFC, il est faux d'affirmer que , autrement on aurait
car "Deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux" (axiome d'extensionnalité) ce qui est manifestement faux.
Fractal
Ouai mais je suis entièrement d'accord sur ce point là, mon problème n'est pas de savoir si mon énoncé est vrai ou faux, il est clair pour tout le monde qu'il est faux. La question est de savoir pourquoi il l'est. Je pense qu'il faut effectivement chercher au niveau de la théorie ZFC mais je n'ai pas trouvé grand chose.
En fait je ne comprends pas vraiment ce qui te bloque.
Un ensemble est une réunion d'éléments qui sont (en général) d'autres ensembles. Mais personne ne te dit que les éléments de ces derniers sont considérés comme des éléments de l'ensemble de départ.
D'ailleurs, grâce à l'axiome de la paire (cf. Wikipédia 
), R étant un ensemble, on est sûr qu'il existe un ensemble ne contenant que R comme élément. Cet ensemble est précisément {R}. Puisqu'il ne contient que R comme élément, il ne contient aucun autre nombre réel.
Fractal
On tourne en rond.
Nous somme d'accord pour dire que {R} ne contient que R et aucun réel.
Ce qui me bloque, c'est dans le fait que l'on ne puisse pas dire que les chaussettes appartiennent à la grande boite.
Si on va dans ce sens : Tu es français, la France est dans l'Europe. Donc toi tu ne serais pas Européen?
je pense personnelement que l'analogie des boites et des chaussettes n'est pas bonne.
En effet d'un point de vu mathématique l'ensemble petite boite ne contient pas l'ensemble chaussette.
tout est dans le sens du verbe contenir
c'est comme si tu disais dans le plan que le cercle de centre O et de rayon R contient le disque ouvert de centre O et de rayon R. Ce qui est faux bien sûr.
Ca rejoint ce que je disais tout à l'heure, la notion d'ensemble et d'appartenance en maths n'est pas forcément la même que la notion intuitive que l'on peut en avoir.
Si on considère l'Europe comme l'ensemble des gens y vivant, alors je suis européen et l'ensemble des français en est un sous-ensemble (il est inclus dans l'ensemble des européens). Mais si on considère l'Europe comme un ensemble de pays, alors la France n'est plus incluse dans l'Europe mais elle appartient à l'Europe. De même je n'appartient plus à l'Europe (qui est maintenant un ensemble de pays, et il se trouve que je ne suis pas un pays) mais j'appartient seulement à un de ses éléments.
Dans la phrase "Tu es français, la France est dans l'Europe. Donc toi tu ne serais pas Européen?", le mot Europe se rapporte à l'Europe en tant qu'ensemble de pays, mais le mot Européen se rapporte à l'Europe en tant qu'ensemble de personnes. Il ne s'agit pas du même ensemble.
Fractal
en fait il ne faut pas voir un ensemble comme une boite qui contiens les objet, mais comme la liste des objet qu'il y a l'interieur.
est-ce que c'est plus claire comme sa ?
Ca me rappelle ce truc que Russell disait à je ne sais plus qui :
On considère tous les chats du monde. Ils forment un ensemble, l'ensemble des chats. Et puis on considère tout ce qui n'est pas un chat, ceci forme un ensemble, l'ensemble des non-chats. L'ensemble des chats n'est pas un chat, n'est-ce pas ? Donc l'ensemble des chats est dans l'ensemble des non-chats.
Bonjour Nightmare et les autres.
En fait tu viens de mettre le doigt sur la source des grands paradoxes de type Russel dont le prototype est le paradoxe des catalogues. Dans une bibliothèque il y a différents catalogues de livres (géographie, ou auteurs,...) Comme ce sont des livres que l'on peut consulter, il est nomal que certains d'entre eux figurent dans des catalogues. Que fait-on du catalogue des catalogues qui ne figurent pas dans eux-mêmes?
Pour éviter ce genre d'horreurs on a essayé des théories axiomatiques (comme celle des univers) très artificielles et passablement inutiles sauf pour les professionnels de la logique.
Pour l'honnête mathématicien, il suffit de bien distinguer "éléments," "parties" "ensembles de parties" etc... comme dans les explications précédentes (Fractal, stokastik, Ksilver).
Bonjour, à mon avis, le problème viens du fait que R n'est pas un ensemble dénombrable, car infini.
La petite boîte de chaussette contient un nombre fini d'élément.
Bien que {R} contient R et aucun autre élément, à mon avis (je n'ai casiment aucune connaissance en théorie des nombres).
En effet, si on prends un sous ensemble de N par exemple, ou même de Z, le problème ne se pose plus, et l'analogie avec la boît de chaussette devient cohérente.
Mais à partir du moment où on considère des ensembles infins, l'analogie avec les chaussettes devient fausse.
Essaye de considérer une boîte avec une infinité de chaussette qui serait contenu dans une autre boîte, le problème revient.
A mon avis ca vien de là, mais j'en sais rien.
Ayoub.
P.S: ne me démolissez pas trop si j'ai dit n'importe quoi, svp.
Bonjour,
1 Schumi 1, je ne suis pas convaincu par ton message. Dans tout le fil précédent, on peut remplacer R par N, et aboutir aux mêmes conclusions.
Nicolas
N oui, ok, mais avec un sous ensemble de N(un ensemble fini donc)c amarche très bien.
Avec N on abouti au même problème, puisque N n'est pas majoré.
Je ne fais que paraphraser mes chers collègues.
Citation :
Si l'on prend un ensemble A quelconque et qu'on crée un ensemble B contenant A, alors B contient tout les éléments de A, puisqu'il contient A lui-même
Si l'on prend un ensemble A quelconque et qu'on crée un ensemble B contenant A, alors B contient tout les éléments de A, puisqu'il contient A lui-même
Si "contenant" signifie "incluant", cet énonce est vrai.
Mais il me semble que "contenant" signifie la plupart du temps "tel que ... soit l'un de ces éléments". Alors l'énoncé est faux.
A = {1 ; 2}
B = {A ; poireau}
B contient A, mais ne contient pas 1.
Que A ou B soit infini ou non n'intervient pas. Du moins si j'ai bien compris de quoi on parle... ce qu'il n'est pas garanti !
En effet cela n'a aucun rapport avec la finitude. On définit les bases de la théorie des ensembles avant même d'avoir défini ce qu'est un ensemble fini.
D'ailleurs une fois qu'on a postulé l'existence de l'ensemble vide, ou démontré avec un autre postulat, savez-vous que l'on construit ainsi :
Eh oui, on pose , ...
On définit la relation d'ordre par
. Remarquez que l'on a
mais pas
Tout est fait d'ensembles
Posté par olivierl (invité)re : Ensemble d'ensemble : Incompréhension
Citation :
Si l'on prend un ensemble A quelconque et qu'on crée un ensemble B contenant A, alors B contient tout les éléments de A, puisqu'il contient A lui-même
Si l'on prend un ensemble A quelconque et qu'on crée un ensemble B contenant A, alors B contient tout les éléments de A, puisqu'il contient A lui-même
Quelque chose me chiffonne dans cette discution:
Soit A = {1,2,3} et B = {1,2,3,4}
On peut affirmer que tous les éléments de A appartiennet à B. Et donc A est inclu dans B. Où encore B contient A.
Pour en revenir aux chaussettes, les chaussettes appartiennent à la grande boîte car la petite boîte est incluse dans la grande boîte.
Si mes souvenirs de théorie élémentaire des ensembles, il me semble que le terme "appartient" ne concerne que les relations entre éléments et ensemble ; le terme "inclus" concerne lui les relations entre ensemble.
a
A ; a est un élément de l'ensemble A. Si A
B, alors aB et je ne peux pas dire que AB car A et B sont des ensembles.
La rélexion de stokastik sur l'nsemble N montre que:
a
b : relation entre élément
a
: relation ensemble-élément
: relation entre ensemble.
Bonne journée