Niveau Licence Maths 1e ann

Ensemble d'intersections de cercles

Posté par
Nolhados 19-05-21 à 20:24

Bonsoir,
On considère deux points fixes P et Q du plan.
1-On pose PQ=d. Quel est l'ensemble E des points M du plan tels que MP+MQ=c, une constante c>d
2-Examiner le cas c<d et c=d.

J'ai fait une figure et essayé de voir ce que cela pourrait donne comme ensemble. Je m'avance pour rédiger la solution en prenant un repère orthonormé d'axe des abscisses la droite (PQ) et d'axe d'ordonnées la médiatrice de [PQ].

MP+MQ=c
MP²+MQ²+2MPMQ= c²
4MP²MQ²=(c²-MP²-MQ²)²
Après développement j'obtiens
2MP²MQ²=c⁴+MP⁴+MQ⁴-2c²(MP²+MQ²)

MP²=(x+d/2)²+y²
MQ²=(x-d/2)²+y²

Je remplace puis développe et obtiens

-4d²x²=c⁴+y⁴-4c²y²+(y²-2c²)(2x²+d²/2) mais je ne sais comment transformer pour avoir un résultat et je ne sais pas si j'ai bien développé

Veuillez vérifier ma méthode et ma réponse

2) Le cas c<d
MP+MQ≥d en raison de l'inégalité triangulaire donc l'ensemble est vide
Le cas c=d
MP + MQ=d=PQ donc l'ensemble est le segment [PQ]

Merci d'avance.

Posté par re : Ensemble d'intersections de cercles 19-05-21 à 22:32

Un bon début, mais il y a plus simple, il faut connaître l'astuce je te l'accorde:

MP + MQ = c
MP = c -MQ

Tu élèves les égalités au carres: MP² = c² -2c*MQ + MQ²

Donc 2c* MQ = c² + MQ²-MP²

En remplacant et développant, tu obtiens déjà énormement de simplification avant de devoir elever au carre une seconde fois.

Posté par re : Ensemble d'intersections de cercles 19-05-21 à 22:45

Bonsoir Nolhados

$\Large \boxed{2}$ Ta réponse pour les cas $c<d$ et $c=d$ est correcte.

$\Large \boxed{1}$ Cas $c>d$ :

En choisissant le même repère orthonormé on a $\Large \textcolor{blue}{\boxed{\sqrt{\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}+\sqrt{\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}=c}}$

et en multipliant par l'expression conjuguée (tout en supposant provisoirement que $x\neq0$ ) $\Large \boxed{\frac{2dx}{\sqrt{\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}-\sqrt{\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}}=c}$

d'où $\Large \textcolor{blue}{\boxed{\sqrt{\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}-\sqrt{\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}=\frac{2dx}{c}}}$ (égalité valable aussi pour $x=0$ )

et en ajoutant les deux encadrés bleus $\Large \boxed{2\sqrt{\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}=\frac{2dx}{c}+c}$

soit en élevant au carré puis en simplifiant $\Large \textcolor{red}{\boxed{\left(1-\frac{d^2}{c^2}\right)x^2+y^2=\frac{c^2-d^2}{4}}}$ ou encore $\Large \textcolor{red}{\boxed{\frac{x^2}{\left(\frac{c}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{\sqrt{c^2-d^2}}{2}\right)^2}=1}}$

et on reconnait ainsi l'ellipse de grand axe $\frac{c}{2}$ et de petit axe $\frac{\sqrt{c^2-d^2}}{2}$ .

Remarque : on peut vérifier que c'est aussi l'ellipse de foyers $P(-\frac{d}{2},0)$ et $Q(\frac{d}{2},0)$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Posté par re : Ensemble d'intersections de cercles 19-05-21 à 23:22

Merci AudreyPr pour l'astuce qui simplifie les expressions plus tôt.

Merci à elhor_abdelali d'avoir pris le temps de rédiger tout cela.

Merci pour l'aide!!

Posté par re : Ensemble d'intersections de cercles 19-05-21 à 23:29

Avec plaisir Nolhados

Posté par re : Ensemble d'intersections de cercles 20-05-21 à 11:20

Bonjour à tous,
Il me semble que ce dernier résultat (22h45) pouvait être prévu.
Posons MP + MQ = m = constante.
Le lieu du point M  est une ellipse d'équation (dans le repère choisi)  x²/a² + y²/b² = 1  et de foyers P et Q, où  a = m/2 et  c = d/2 .
D'où  b² = a² - c² = (m/2)² - (d/2)² .
L'équation de ladite ellipse est donc   x²/(m/2)² + y²/[(m² - d²)/4] = 1 .

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