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Ensemble de cardinal 0

Posté par
Ramanujan
11-07-19 à 01:47

Bonsoir,

Un ensemble E est fini s'il existe n \in \N et une bijection de [|1,n|] sur E. Nous admettons qu'un tel entier n est alors unique. Cet entier n est appelé cardinal de E.

Je ne comprends pas la remarque suivante :

Lorsque n=0, l'intervalle [|1,n|] est vide et il en est donc de même pour E. Ainsi l'ensemble vide est le seul ensemble de cardinal 0.

Pourquoi [|1,0|] est vide ?
Pourquoi si tex][|1,n|][/tex] est vide alors E est vide ? On ne sait même pas qui est E.
Pourquoi l'ensemble vide est le seul ensemble de cardinal 0 ?

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 02:09

Salut !

Citation :
Pourquoi [|1,0|] est vide ?

Parce que c'est l'ensemble des entiers naturels n tels que 1 \leq n \leq 0 et des comme ça, j'en connais pas !

Citation :
Pourquoi si [|1,n|] est vide alors E est vide ? On ne sait même pas qui est E.

On s'en moque de qui est E, on sait seulement qu'il existe une bijection entre [1,n] et E.
Du coup, comme [1,0] est vide alors E est en bijection avec l'ensemble vide. Autrement dit, E est nécessairement vide.

alors j'anticipe tout de suite ta question suivante : pourquoi la seule façon d'être en bijection avec le vide est d'être vide soit même.

Réponse : soit f : \emptyset \rightarrow E une bijection.

Alors \forall y \in E, {\red \exists ! x \in \emptyset }\text{ tel que }f(x) = y

Mais la partie  en rouge est fausse et donc la proposition ne peut être vraie que si E = \emptyset

Posté par
luzak
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 08:51

Quel devin jsvdb !
Ainsi on répond aux questions AVANT qu'elles ne se posent !

Dans le même ordre : tous les ensembles sont-ils finis ?

Posté par
Ramanujan
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 13:08

Merci pour votre réponse jsvdb, mais en quoi le fait que la partie rouge soit fausse permet de conclure que E = \emptyset ? Je n'ai pas compris.

\forall y \in E, {\red \exists ! x \in \emptyset }\text{ tel que }f(x) = y

Posté par
carpediem
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 13:38

salut

Citation :
Parce que c'est l'ensemble des entiers naturels n tels que 1 \leq n \leq 0 et des comme ça, j'en connais pas !
ben si tu connais !!! c'est l'ensemble vide !!

d'ailleurs tu le dis deux lignes en dessous de la deuxième citation ...

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 18:22

Pffff ... soupir 😔

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 18:24

Ramanujan @ 11-07-2019 à 13:08

mais en quoi le fait que la partie rouge soit fausse permet de conclure que E = \emptyset ? Je n'ai pas compris.

\forall y \in E, {\red \exists ! x \in \emptyset }\text{ tel que }f(x) = y

c'est le seul ensemble qui permette de rendre vraie la proposition.

Posté par
Zrun
re : Ensemble de cardinal 0 11-07-19 à 22:16

Une proposition qui commence par \forall x \in \emptyset est toujours vraie ...
Mais si E n'est pas vide alors alors proposition est trivialement fausse ...
D'où le résultat

Posté par
Ramanujan
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 03:30

Ok merci j'ai compris !

Posté par
XZ19
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 10:38

Bonjour
En fait ta question est profonde. En effet le cardinal d'un ensemble c'est le nombre d'éléments qu'il contient. Donc si card(E)=0, c'est qu'il n'y a pas d'éléments dans E, autrement dit l'ensemble E est vide. Et alors, si j'ai bien compris tu demandes  pourquoi l'ensemble vide c'est le seul ensemble qui n'a pas d'éléments. C'est de l'humour ou quoi?

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 10:47

Se demander s'il n'existe qu'un seul ensemble vide en théorie des ensemble n'est pas stupide.
C'est intuitivement évident, et formellement ça l'est moins (de pas grand chose)

Posté par
XZ19
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 13:10

En tout cas c'est pas ici qu'on a démontré que l'ensemble vide est unique.

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 14:04

C'est vrai qu'on y a pas répondu...

Posté par
Ramanujan
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 19:28

Il n'y a pas besoin dans le cadre de ce cours car l'unicité est admise :

Un ensemble E est fini s'il existe n \in \N et une bijection de [|1,n|] sur E. Nous admettons qu'un tel entier n est alors unique. Cet entier n est appelé cardinal de E.

Posté par
XZ19
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 22:39

Rebonjour
Finalement c'est quoi ta définition de l'ensemble vide?  
En effet, si j'ai bien compris, si tu as  2 ensembles E_1  et F_1  en bijection  avec [[1,0]],  ils sont vides mais pas forcément égaux?  
Par exemple, si tu considères  E=\lbrace 1 ,2, 3 \rbrace  et tu lui retires les 3, éléments 1,2,3, tu obtiens le sous-ensemble E_1 de  E qui n'a pas d'élément.
Mais tu   peux faire la même chose avec  F=\lbrace R ,G, B  \rbrace et tu obtiens F_1  le sous-ensemble F qui n'a pas d'élément.
E_1  et F_1 sont tous les deux vides mais c'est pas le même vide, le premier est sous-ensemble de E  et l'autre de F
Cela se passe un peu comme si tu avais 2 bouteilles pleines, une d'eau et l'autre de vin.
Tu bois leur contenu et bien elles sont toutes les deux vides, mais est-ce le même vide?

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 23:04

L'ensemble vide est celui qui est solution en X de cette relation :

X, x, xX

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 23:06

Ah pardon, j'ai lu : c'est quoi la définition de l'ensemble vide ? J'ai lu un « la «  à la place du « ta »

Posté par
XZ19
re : Ensemble de cardinal 0 12-07-19 à 23:58

J'ai d'autres questions: Toujours à propos de l'ensemble vide.  
\forall  x \in \varnothing ,  x\geq 1   est-elle vraie?  si oui, il en est de même pour
\forall  x \in \varnothing ,  x< 1 ?  
En particulier soit f  une bijection de \varnothing   vers  \varnothing
Par définition cela signifie que chaque élément de l'ensemble vide  admet un et un seul antécédent?
Finalement l'existence d'une telle bijection est-elle bien établie?

Posté par
XZ19
re : Ensemble de cardinal 0 13-07-19 à 00:02

Bien sûr dans ma dernière question, je reviens sur la question initiale de@ramanujan
[[1,0]]  est en bijection avec l'ensemble  vide. donc l'ensemble vide est de cardinal zéro.
Je veux bien ça demande bien que la bijection existe?

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 13-07-19 à 02:06

XZ19 @ 12-07-2019 à 23:58


\forall  x \in \varnothing ,  x\geq 1   est-elle vraie ?  si oui, il en est de même pour
\forall  x \in \varnothing ,  x< 1 ?  

Oui et oui !

Posté par
jsvdb
re : Ensemble de cardinal 0 13-07-19 à 02:12

XZ19 @ 12-07-2019 à 23:58

En particulier soit f  une bijection de \varnothing   vers  \varnothing
Par définition cela signifie que chaque élément de l'ensemble vide  admet un et un seul antécédent?
Finalement l'existence d'une telle bijection est-elle bien établie ?

Bien sûr, puisque toute relation débutant par (\forall x \in \emptyset)(P)  est un théorème.

en particulier, P := (\exists ! x \in \emptyset)(f(x) = y).

On déduit également qu'il existe une unique application f : \emptyset \rightarrow \emptyset et que c'est une bijection (au sens logique).

Naturellement, elle est passionnante et fournit des quantités de résultats mathématiques assez profonds

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