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Ensemble de fonctions 2

Posté par
yns91
13-08-20 à 12:15

Bonjour,

Voici une deuxième énigme plus facile ^^

Déterminer l'ensemble des fonctions vérifiant fog(x) = gof(x).

bonne chance

Posté par
carpediem
re : Ensemble de fonctions 2 13-08-20 à 13:41

salut

c'est vrai pour toutes les fonctions

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Posté par
Kernelpanic
re : Ensemble de fonctions 2 13-08-20 à 14:48

Salut,

 Cliquez pour afficher

Posté par
yns91
re : Ensemble de fonctions 2 13-08-20 à 15:54

carpediem félicitations !
Quelle a été ta démarche/ton raisonnement pour aboutir à la bonne réponse carpediem ?

Kernelpanic les fonctions puissances ne vérifient pas forcément cette égalité. Quelles types de fonctions puissances précisément ?

Posté par
LittleFox
re : Ensemble de fonctions 2 13-08-20 à 16:16


Je ne suis pas d'accord avec la réponse de carpediem.

f(x) \equiv x + 1 a pour réciproque f^{-1}(x) \equiv x-1.

Cependant en prenant g(x) \equiv 2x, f\circ g(x) \equiv 2x+1 \neq 2x+2 \equiv g \circ f(x) .

En fait la question est mal posée. On cherche l'ensemble des fonctions f pour tout g, l'ensemble des fonctions f qui ont au moins un g ou l'ensemble des paires de fonctions f et g?

La dernière interprétation me semble la plus intéressante, si on retire les inverses.

Quel est l'ensemble des paires de fonctions (f,g) tel que f\circ g(x) \equiv g\circ f(x) \not\equiv x ?

Posté par
Imod
re : Ensemble de fonctions 2 13-08-20 à 17:51

Bonjour

La question est clairement trop ouverte pour avoir un intérêt . Si f et g sont bijectives , on cherche les éléments d'un groupe qui commutent . Sinon on peut par exemple couper R en deux parties A et B ayant un unique point commun I et définir f constante égale à I sur A et prenant n'importe quelle valeur de B-{I} dans B . De même g est constante égale à I sur B et prend n'importe quelle valeur de A-{I} dans A .

On peut construire une infinité d'exemple bien plus compliqués

Imod

Posté par
carpediem
re : Ensemble de fonctions 2 13-08-20 à 20:05

j'ai donnée des solutions et pas les solutions ...

toute paire (f, f^{-1}) convient sur les ensemble adéquats ...

et je suis bien d'accord avec Imod qu'on peut construire des fonctions f et g "extrêmement compliquées" qui vérifie cette propriété ...

yns91 : la loi rond est une opération interne (en définissant bien les ensembles adéquats) qui peut faire de certains ensembles des groupes ou du moins des monoïdes et pour lesquelles certaines fonctions ont des inverses : et alors cet inverse est unique et commute avec l'élément ...

attention ce n'est pas toujours vrai : dans l'ensemble des matrices il me semble qu'il peut exister des inverses à gauche et à droite distincts (quand les matrices ne sont pas carrées par exemple) ...

Posté par
yns91
re : Ensemble de fonctions 2 14-08-20 à 01:18

carpediem pour ce qui est de l'inverse, commutativité je vois mais de mon niveau (1ere G) je vois pas ce qu'est un monoide peut-être plus tard
Mais dans l'ensemble j'ai compris le 1er paragraphe. (Par contre j'ai pas assez travaillé les matrices pour comprendre le deuxième )

En tout cas merci et bravo a tous

Posté par
carpediem
re : Ensemble de fonctions 2 14-08-20 à 13:45

tu peux toujours regarder sur internet pour t'informer ...

LittleFox : je ne comprends pas ta réponse ...

je dis simplement que si f et g sont réciproques alors elles commutent : f o g = g o f (= I) (identité) et rien de plus ...

je ne dis pas qu'il n'existe pas d'autres paires de fonctions f et g "quelconques" tels que f o g = g o f ( I)

EX :  f(x) = ax et g(x) = b/x (b non nul)

f o g (x) = ab/x et g o f (x) = b/(ax)

f o g = g o f <=> ab = b/a <=> a2 = 1 <=> a = -1 ou a = 1 (cas trivial où f est l'identité et qui commute avec tout le monde bien sûr)

on travaille alors sur R* bien sur et f o g = g o f n'est pas l'identité ...

Posté par
LittleFox
re : Ensemble de fonctions 2 14-08-20 à 14:08

@carpediem

Je voulais insister sur le fait que l'on recherche des paires de fonctions f et g.
Et pas juste les fonctions f.

Si cette égalité doit être vérifiée pour toute fonction g, alors je pense que la seule solution est la fonction identité (pour f donc). Et l'ensemble des fonctions n'a qu'un seul élément.

Posté par
carpediem
re : Ensemble de fonctions 2 14-08-20 à 14:19

j'ai bien compris !!! f = I est évidemment un cas particulier ...

mais je t'offre un paquet de paires avec les fonctions f(x) = -x et g(x) = b/x (b non nul) et donc la composée (quel que soit l'ordre) n'est pas l'identité (ce qui signifie donc que les fonctions f et g ne sont pas réciproques comme je le donnais trivialement dans ma première réponse)

Posté par
LittleFox
re : Ensemble de fonctions 2 14-08-20 à 14:23


Effectivement donc même la question que j'avais retravaillée est beaucoup trop ouverte pour être intéressante

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