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Niveau seconde
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ensemble de point

Posté par
Dibal
26-02-23 à 13:06

Bonjour voici un exercice de niveau lycée que j'ai trouvé intéressant de faire .

Le point M appartient au segment [AB]  de longueur 8 les triangles APM et MQB sont isocèles N milieu de [PQ] .

Quel est l'ensemble d'écrit par N lorsque M se déplace ?

on se fixe un repère (A,\vec {AB} , \vec{AC}) tel que :


En considérant le point C (AP) tel que C[AP] le point C est tel que (QC)//(PM) ,  QC=PM et MQPC est un rectangle .

Comme AP=MP et que MP=QC alors AP=QC . Et comme QB=QM et que QM=PC alors OB=PC c'est à dire AC=AB=8

M(x,0) , P(0,y) C(0,8) , B(8,0) . calculons les coordonnées du point 0 dans notre repère

\vec{AQ} = \vec{AM}+\vec {QM} = \vec{AM}+ \vec{PC}

après calcul , Q(x,8-y).  Et j'en déduis les coordonnées de N

x_N=\frac{x_P+x_Q}{2}=\frac{x}{2} , y_N=\frac{y_p+y_Q}{2}=4 .


l'ensemble des points d'écrit par N lorsque M se déplace serait alors la droite d'équation y=4 ?


Merci

ensemble de point

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 13:16

isocèle rectangle

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 13:19

ah mince en me relisant je crois avoir écrit n'importe quoi j'essaie de corriger

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensemble de point 26-02-23 à 15:29

Bonjour,
Ce que tu trouves contient l'ensemble cherché. xN ne décrit pas tout entier.
Il me semble plus simple d'utiliser le point R, quatrième sommet du rectangle PMQR.

Posté par
larrech
re : ensemble de point 26-02-23 à 15:51

Bonjour,

Il me semble que tu as oublié un facteur 1/2 quelque part mais je ne peux rester plus longtemps.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensemble de point 26-02-23 à 16:03

Oui, l'ensemble est inclus dans la droite d'équation y = 2, et pas y = 4.

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 20:19

Sylvieg comment vous faite pour trouver y= 2 ? moi j"ai un problème avec mon repère je ne sais pas ce que vaut AC

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 20:20

Sylvieg et aussi vous ne relevez pas d'erreur à part des erreur de calcul ?

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 20:22

Sylvieg @ 26-02-2023 à 15:29

Bonjour,
Ce que tu trouves contient l'ensemble cherché. xN ne décrit pas tout entier.
Il me semble plus simple d'utiliser le point R,  quatrième sommet du rectangle PMQR.
je lai appeler C au lieu de R

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensemble de point 26-02-23 à 20:40

Citation :
je l'ai appelé C au lieu de R
Oui, on ne le voyait pas sur ta photo.

Je n'ai pas lu tes calculs suite à ce message :
Citation :
ah mince en me relisant je crois avoir écrit n'importe quoi j'essaie de corriger

Le point C est fixe. On peut calculer ses coordonnées.
Puis en déduire celles du point N en fonction de l'abscisse du point M.
On peut aussi faire un raisonnement géométrique.

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 20:46

en considérant le triangle isocèle  rectangle en C  ,d'apres pythagore :

AB^2=2AC^2 <=> AC=4 et la effectivement j'ai bien

d'âpres ma relation précédente que Q(x,4-y) , et P(0,y)
et donc que :

x_N=\frac{x_P+x_Q}{2}=\frac{x}{2} , y_N=\frac{y_P+y_Q}{2}=\frac{4}{2}=2

et la on y est

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 26-02-23 à 20:53

Mais ai je le droit de calculer les distance étant donnée que mon repère n'est pas orthonormé?

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 27-02-23 à 07:42

même si que je pense qu'il manque une racine carrée de 2 quelque part

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensemble de point 27-02-23 à 07:48

Pythagore a été utilisé dans l'antiquité avant que la notion de repère apparaisse.
Et actuellement, il me semble qu'on en parle au collège avant les repères.
Mais tu as fait une erreur sur la valeur de AC.
Ceci dit, cette longueur n'est pas vraiment utile pour calculer les coordonnées du point C.
Par ailleurs, si tu veux utiliser un repère orthonormé, il suffit de prendre \frac{1}{8}.\vec{AB} comme premier vecteur.

Utilise le point C' projeté orthogonal de C sur (AB) pour trouver l'abscisse de C.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensemble de point 27-02-23 à 07:49

Je n'avais pas vu ton message de ce matin avant de poster

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 27-02-23 à 08:54

justement le repère n'est pas forcement orthonormé dans l'exercice

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 27-02-23 à 09:00

Sylvieg @ 27-02-2023 à 07:48

Pythagore a été utilisé dans l'antiquité avant que la notion de repère apparaisse.
Et actuellement, il me semble qu'on en parle au collège avant les repères.
Mais tu as fait une erreur sur la valeur de AC.
Ceci dit, cette longueur n'est pas vraiment utile pour calculer les coordonnées du point C.
Par ailleurs, si tu veux utiliser un repère orthonormé, il suffit de prendre \frac{1}{8}.\vec{AB} comme premier vecteur.

Utilise le point C' projeté orthogonal de C sur (AB) pour trouver l'abscisse de C.


\frac{1}{8} \vec {AB}  comme premier vecteur ? je comprend pas vous parler du repère ou dans ma relation de chasles ?

Posté par
Dibal
re : ensemble de point 27-02-23 à 09:02

ah oui vous parlez du repère



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