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Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre)

Posté par
JULIE13
09-04-11 à 11:06

Bonjours, j'ai un DM à faire, et j'ai besoin d'aide. J'espère que vous pourrez m'aider.

A et B sont deux points donnés. On cherche l'ensemble (c) des points M tel que MA/MB=2

1) montrer q'il est équivalent de rechercher l'ensemble des points M vérifiant MA^2-4 MB^2 = 0
j'ai répondu MA = 2 MB, MA-2MB=0 donc que MA^2-4MB^2 = 0

2) I = bar[(A,1),(B,2)]
   J = bar[(A,1),(B,-2)]

MONTRER QUE LES POINTS M cherchés vérifient les vecteurs : MI.MJ = 0
Caractériser l'ensemble C
C'est la que j'ai bloqué

J'ai trouvé que AI = 2/3 AB
                AJ = 2 AB DONC J milieu de AB
et que MA + 2 MB = 3 MI
ET     MA - 2 MB = - MJ
Mais je n'arrive pas à répondre à la question.

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 09-04-11 à 12:05

1) L'idée est bonne, mais il serait plus clair d'écrire MA² - 4MB² = (MA + 2MB)(MA - 2MB) = 0 ---> MA - 2MB = 0 ---> MA/MB = 2.
2) Tu peux exprimer le vecteur MI en fonction des vecteurs MA et MB sachant que le point I est barycentre des points A et B. De même pour MJ. Puis tu fais le produit scalaire.

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 09-04-11 à 12:15

merci, mais je comprend toujours la 2, je n'arrive pas à faire le produit scalaire, je sais pas qu'elle méthode faut prendre. : )

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 09-04-11 à 14:19

Lorsqu'un point G est barycentre de deux points pondérés :  G bar(A,a),(B,b)  ou  aGA + bGB = 0, on peut écrire, pour tout point M :  aMA + bMB = (a + b)MG.
C'est cela que tu peux appliquer ici.

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 13:28

ok merci je croit que j'ai compris

I bar(A,1),(B,2)  ou  1 IA + 2 IB = 0, on peut écrire, pour tout point M :  1 MA + 2 MB = (1 + 2)MI.

MA + 2 MB = 3 MI

OR sait que  MA + 2 MB = 0 donc 3 MI = 0 donc MI = 0
du coup le produit scalaire MI.MJ = 0 vu que MI=0

je suis désolée si je suis pas très claire

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 13:49

Pourquoi dis-tu  MA + 2MB = 0 ?
Non, restes-en à la ligne précédente et fais la même chose pour MJ (relis la question du 2) ).

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:03

A ok
J bar (A,1),(b,-2)
1 JA -2 JB = 0 donc MA -2MB = - MJ

mais  après je fais quoi avec ces informations, comment je fais pour montrer que le point M vérifie le produit scalaire MI.MJ = 0 ?

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:14

Tu calcules le produit scalaire MI.MJ en utilisant les deux expressions vectorielles que tu viens d'établir.

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:24

Désolé mais je n'y arrive pas,
MI.MJ = - MJ . 3MI
C'est ça ?

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:28

Ecris les deux relations vectorielles que tu as déterminées pour I, puis pour J.

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:30

MA - 2 MB = - MJ
MA + 2 MB =  3 MI

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:34

Maintenant, mets ces deux relations sous la forme  MI = ... et MJ = ....., puis fais le produit scalaire MI.MJ.

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:35

mais après je fais quoi ? : ) Le produit scalaire je fais comment ?

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:37

Ok (MA + 2 MB)/ 3 = MI

    -MA + 2MB = MJ

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 14:46

donc MI.MJ= (MA+2MB)/3 X -MA+2MB
          

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 15:41

Je réécris cela : MI.MJ = (1/3)(MA + 2MB).(- MA + 2 MB)  (c'est toujours un produit scalaire).
Maintenant, développe le second membre.

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 16:19

CELA FAIT

1/3MA+2/3MB . -MA+2MB
MI.MJ = -1/3 MA + 4/3 MB
J'espère que c'est ça car je commence à désespérer

Posté par
Priam
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 19:00

???
Je reprends le produit scalaire sous sa nouvelle forme (mais sans le coefficient 1/3), et j'utilise l'identité remarquable  a² - b² = (a + b)(a - b) :
(MA + 2MB)(- MA + 2MB) = (2MB)² - MA² = 4MB² - MA².
Cela ne te rappelle rien ?

Posté par
JULIE13
re : Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre) 10-04-11 à 19:23

mais oui, bien sur j'ai pas pensé à cela : )
merci pour ton aide et ta patience.
bonne semaine



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