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Ensemble de points ( produit scalaire+barycentre)
Bonjours, j'ai un DM à faire, et j'ai besoin d'aide. J'espère que vous pourrez m'aider.
A et B sont deux points donnés. On cherche l'ensemble (c) des points M tel que MA/MB=2
1) montrer q'il est équivalent de rechercher l'ensemble des points M vérifiant MA^2-4 MB^2 = 0
j'ai répondu MA = 2 MB, MA-2MB=0 donc que MA^2-4MB^2 = 0
2) I = bar[(A,1),(B,2)]
J = bar[(A,1),(B,-2)]
MONTRER QUE LES POINTS M cherchés vérifient les vecteurs : MI.MJ = 0
Caractériser l'ensemble C
C'est la que j'ai bloqué
J'ai trouvé que AI = 2/3 AB
AJ = 2 AB DONC J milieu de AB
et que MA + 2 MB = 3 MI
ET MA - 2 MB = - MJ
Mais je n'arrive pas à répondre à la question.
1) L'idée est bonne, mais il serait plus clair d'écrire MA² - 4MB² = (MA + 2MB)(MA - 2MB) = 0 ---> MA - 2MB = 0 ---> MA/MB = 2.
2) Tu peux exprimer le vecteur MI en fonction des vecteurs MA et MB sachant que le point I est barycentre des points A et B. De même pour MJ. Puis tu fais le produit scalaire.
merci, mais je comprend toujours la 2, je n'arrive pas à faire le produit scalaire, je sais pas qu'elle méthode faut prendre. : )
Lorsqu'un point G est barycentre de deux points pondérés : G bar(A,a),(B,b) ou aGA + bGB = 0, on peut écrire, pour tout point M : aMA + bMB = (a + b)MG.
C'est cela que tu peux appliquer ici.
ok merci je croit que j'ai compris
I bar(A,1),(B,2) ou 1 IA + 2 IB = 0, on peut écrire, pour tout point M : 1 MA + 2 MB = (1 + 2)MI.
MA + 2 MB = 3 MI
OR sait que MA + 2 MB = 0 donc 3 MI = 0 donc MI = 0
du coup le produit scalaire MI.MJ = 0 vu que MI=0
je suis désolée si je suis pas très claire
Pourquoi dis-tu MA + 2MB = 0 ?
Non, restes-en à la ligne précédente et fais la même chose pour MJ (relis la question du 2) ).
A ok
J bar (A,1),(b,-2)
1 JA -2 JB = 0 donc MA -2MB = - MJ
mais après je fais quoi avec ces informations, comment je fais pour montrer que le point M vérifie le produit scalaire MI.MJ = 0 ?
Tu calcules le produit scalaire MI.MJ en utilisant les deux expressions vectorielles que tu viens d'établir.
Maintenant, mets ces deux relations sous la forme MI = ... et MJ = ....., puis fais le produit scalaire MI.MJ.
Je réécris cela : MI.MJ = (1/3)(MA + 2MB).(- MA + 2 MB) (c'est toujours un produit scalaire).
Maintenant, développe le second membre.
CELA FAIT
1/3MA+2/3MB . -MA+2MB
MI.MJ = -1/3 MA + 4/3 MB
J'espère que c'est ça car je commence à désespérer
???
Je reprends le produit scalaire sous sa nouvelle forme (mais sans le coefficient 1/3), et j'utilise l'identité remarquable a² - b² = (a + b)(a - b) :
(MA + 2MB)(- MA + 2MB) = (2MB)² - MA² = 4MB² - MA².
Cela ne te rappelle rien ?
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