Bonjour à tous,
Exercice :
1) Soient E et F deux ensembles dénombrables disjoints. Montrez que l'ensemble E U F est dénombrable.
2) Soient G et H deux ensemble dénombrables (non nécessairement disjoints). Montrez que l'ensemble G U H est dénombrable.
J'ai ces deux démonstrations à réaliser mais je ne sais pas comment faire. Je sais qu'un ensemble A infini est dénombrable s'il existe une bijection f:A
Si vous avez une piste pour commencer je suis preneuse, merci
Bonjour,
Tu sais que et , tout comme et , sont équipotents et disjoints ! Il n'est donc pas difficile de construire une bijection de sous l'hypothèse . La deuxième question se ramène à la première par un artifice...
Je comprend !
Soient E et F deux ensembles dénombrables et E F= , on a :
f : E et g : F , deux bijections.
On pose h : E F
h(x) = 2 f(x) si x E
= 2 g(x) +1 si x F
h est une bijection de E F dans donc E F est dénombrable.
Est ce que ma rédaction est juste ?
Pour la deuxième question je ne vois toujours pas par quel "artifice" je pourrais la démontrer .. Pourrais-tu m'en dire plus ?
Simplement, tu as . Les ensembles entre parenthèse étant dénombrables en tant qu'ils sont inclus dans des ensembles dénombrables.
EF = E (F\E) .
F\E est fini ou non .
Tu as étudié le cas où F\E est infini . Il te reste le cas où F\E est fini .
Il semble que , dans ce qui précède , "X est dénombrable " est utilisé à la place de " X est équipotent à " .
Certains l'utilisent à la place de" Card(X) Card() " .
Désolé etniopal, je ne vois pas où tu veux en venir .. Que représente X dans mon énoncé ?
Et il est vraiment nécessaire de prouver le cas fini quand on a prouvé le cas infini ? Car ma définition dis "un ensemble A infini est dénombrable s'il existe une bijection f:A " et je n'ai que cette définition dans mon cours, comment je pourrais démontrer le cas fini ?
Merci jsvdb Mais une petite question encore pour savoir si je comprend bien.. On admet que G H est dénombrable car il est inclus dans G et il est inclus dans H, c'est bien ça ?
Pour répondre à cette question, il faut tenir compte de ce qu'a dit etniopal.
Si la définition que tu as de dénombrable est "en bijection avec " alors il faut faire attention.
A ce sujet, il y a deux écoles :
- celle que tu as dans ton cours
- celle qui dit que dénombrable est qu'il existe une injection de X dans
Ces deux définitions ne sont évidemment pas équivalentes.
Comme ton cours est formulé à la première école, tu dois vérifier avant que si X est dénombrable (resp. fini) et si Y est fini, alors est dénombrable (resp. fini) et tu pourras ensuite facilement démontrer le 2) via la décomposition que j'ai faite car alors, l'un des trois composants est nécessairement dénombrable, les deux autres pouvant être fini ou dénombrables.
Si on est de la première école, et qu'il existe une injection de X dans , on dit que X est "au plus dénombrable"
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