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Ensemble dénombrable

Posté par
Mathsterminal
17-02-17 à 13:34

Bonjour à tous,

Exercice :
1) Soient E et F deux ensembles dénombrables disjoints. Montrez que l'ensemble E U F est dénombrable.
2) Soient G et H deux ensemble dénombrables (non nécessairement disjoints). Montrez que l'ensemble G U H est dénombrable.

J'ai ces deux démonstrations à réaliser mais je ne sais pas comment faire. Je sais qu'un ensemble A infini est dénombrable s'il existe une bijection f:A

Si vous avez une piste pour commencer je suis preneuse, merci

Posté par
jsvdb
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 13:39

Bonjour Mathsterminal.

1)Regarde la suite x_1 \in E ,x_2\in F,x_3 \in E,x_4 \in F, ... , x_{2p+1} \in E, x_{2p+2} \in F etc ...

Posté par
ThierryPoma
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 13:40

Bonjour,

Tu sais que \N et 2\,\N, tout comme \N et 2\,\N+1, sont équipotents et disjoints ! Il n'est donc pas difficile de construire une bijection de E\cup{F} sous l'hypothèse E\cap{F}=\emptyset. La deuxième question se ramène à la première par un artifice...

Posté par
ThierryPoma
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 13:42

Erratum :

Tu sais que \N et 2\,\N, tout comme \N et 2\,\N+1, sont équipotents avec 2\,\N\cap(2\,\N+1)=\emptyset  !

Posté par
Mathsterminal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 15:24

Je comprend !

Soient E et F deux ensembles dénombrables et E F= , on a :
f : E et g : F , deux bijections.
On pose h : E F
                   h(x) = 2 f(x)  si x E
                            = 2 g(x) +1  si x F

h est une bijection de E F dans donc E F est dénombrable.

Est ce que ma rédaction est juste ?

Posté par
Mathsterminal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 15:25

Pour la deuxième question je ne vois toujours pas par quel "artifice" je pourrais la démontrer .. Pourrais-tu m'en dire plus ?  

Posté par
jsvdb
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 15:53

Simplement, tu as G \cup H = (G - H) \cup (H-G) \cup (G \cap H). Les ensembles entre parenthèse étant dénombrables en tant qu'ils sont inclus dans des ensembles dénombrables.

Posté par
etniopal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 15:57

  EF  = E (F\E)  .
F\E est fini ou non .
Tu as étudié le cas où F\E est infini . Il te reste le cas où F\E  est fini .

Posté par
etniopal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 16:02

Il semble que , dans ce qui précède ,  "X est  dénombrable " est utilisé à la place de    " X est équipotent à   " .

Certains l'utilisent à la place de"  Card(X) Card() " .

Posté par
Mathsterminal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 16:08

Désolé etniopal, je ne vois pas où tu veux en venir .. Que représente X dans mon énoncé ?
Et il est vraiment nécessaire de prouver le cas fini quand on a prouvé le cas infini ? Car ma définition dis "un ensemble A infini est dénombrable s'il existe une bijection f:A " et je n'ai que cette définition dans mon cours, comment je pourrais démontrer le cas fini ?

Posté par
Mathsterminal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 16:13

Merci jsvdb Mais une petite question encore pour savoir si je comprend bien.. On admet que G H est dénombrable car il est inclus dans G et il est inclus dans H, c'est bien ça ?

Posté par
jsvdb
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 16:38

Pour répondre à cette question, il faut tenir compte de ce qu'a dit etniopal.
Si la définition que tu as de dénombrable est "en bijection avec \N" alors il faut faire attention.

A ce sujet, il y a deux écoles :
  - celle que tu as dans ton cours
  - celle qui dit que dénombrable est qu'il existe une injection de X dans \N
Ces deux définitions ne sont évidemment pas équivalentes.

Comme ton cours est formulé à la première école, tu dois vérifier avant que si X est dénombrable (resp. fini) et si Y est fini, alors X \cup Y est dénombrable (resp. fini) et tu pourras ensuite facilement démontrer le 2) via la décomposition que j'ai faite car alors, l'un des trois composants est nécessairement dénombrable, les deux autres pouvant être fini ou dénombrables.

Posté par
jsvdb
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 16:40

Si on est de la première école, et qu'il existe une injection de X dans \N, on dit que X est "au plus dénombrable"

Posté par
etniopal
re : Ensemble dénombrable 17-02-17 à 18:59

Quand il y a un doute  on n'utilise pas l'adjectif  " dénombrable " .

  Soient E et F 2 parties d'un ensemble X telles que Card(E) Card()  et  Card(F)      Card() .
Montrer que Card(EF)   Card() .

On a 3 cas à regarder :
   1.E et F finis
   2.E et F infinis
   3. l'un est fini ,  l'autre pas .

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