Bonjour,

Puisque c'est un exercice sur les complexes, pose z=x+iy, et regarde ce que devient ton équation en séparant les parties réelle et imaginaire..

bonsoir, j'ai essayé ce que vous m'avez dit mais en elevant au carré pour eliminer la racine dans AM ,  le OM² me donne une puissace 4  ET on ne peut pas separer les parties reelles et imaginaires car le module est un nombre reel
    je suis  un prof de maths
J'espere que vous suivez avec moi cet question jusqu'a sa resolution
  ET   MERCI
cordialement

Bonjour,

Je ne suis pas prof de maths, mais je vais quand même essayer avec vous...
En fait, ton énoncé n'est pas clair. L'expression OM² = AM fait-elle référence à des affixes complexes ou à des longueurs ?
S'il s'agit d'affixes, alors l'équation se ramène à z² = z-a, donc z²-z+a = 0, aucune difficulté, tu trouve deux points dans le plan complexe.
S'il s'agit de longueurs, c'est effectivement plus délicat. Je suppose qu'on ne perd pas de généralité en supposant A sur l'axe réel, donc de coordonnées (a,0). Si M est de coordonnées (x,y), alors on a, comme tu l'as remarqué :
(x²+y²)² = (x-a)² + y²
x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x-a)² +  y²
Je remarque qu'il n'y a que des puissances de y², je pose provisoirement y² = Y, et j'ordonne suivant les puissances de Y :
Y² + (2x²-1)Y + (x⁴-(x-a)²) = 0
Equation que je peux résoudre en Y, ça me donne :
= (2x²-1)² - 4((x⁴-(x-a)²))
= 4x⁴ - 4x² + 1 -4x⁴ + 4x² -8ax + 4a²  
=  -8ax + 4a² + 1
La condition 0 nous donne un domaine de définition en x.
Il "suffit" alors de résoudre l'équation du deuxième degré en Y pour obtenir deux solutions pour Y(x), puis de se souvenir que y² = Y, donc garder les branches positives des deux solutions Y(x) et terminer sur ces branches par y(x) = +/- Y(x).
Ca n'est pas très satisfaisant, mais c'est tout ce que je vois pour l'instant...
Ceci dit, la première chose à faire reste de clarifier ton énoncé !

BONSOIR
Merci pour votre reponse, vous m'avez donné une idée
l'enoncé de l'exercice et le suivant :
        dans le plan complexe  , on pose z'=z²/z-i
le point M a pour affixe z   et M'apour affixe z' et A  a pour affixe i
   1- trouver une relation liant OM ,OM' et AM
    2- determinez l'ensemble des points M tel que M'  appartient au cercle de      centre O et de rayon 1

Dans l'equation  en Y que vous avez posé : Y2 + (2x2-1)Y + (x4-(x-a)2) = 0
   delta  = (2x2-1)2 - 4((x4-(x-a)2))
   est ce qu'il n'y a pas de risque de considerer y2 = Y variable (inconnue)
    alors que vous avez fixé x dans le descriminant delta ?
     pour moi  x et y  sont tous les deux variables
    
J'espere que vous suivez avec moi cette question jusqu'a sa resolution
   ET   MERCI
   CORDIALEMENT

bonjour

|z²/(z-i)|=1
|z²/(z-i)|²=1
|z²|²=|z-i|²
(x²+y²)²=x²+(y-1)²

x^4+2x²y²+y^4-x²-(y²-2y+1)=0

je pose X=x²

X²+(2y²-1)X+y^4-y²+2y-1=0

Delta=4y^4-4y²+1-4(y^4-y²+2y-1)=5-8y : on aura y<=5/8

X1=(1-2y²-racine(5-8y))/2

X2=(1-2y²+racine(5-8y))/2

On prend alors, quand c'est possible, les racines de ces X1 et X2 :

x = racine((1-2y²-racine(5-8y))/2)
et
x = racine((1-2y²+racine(5-8y))/2)

puis, on effectue la symétrie par rapport à la première bissectrice de la réunion de ces courbes

En relations x=f(y), j'obtiens ceci :



en faisant la symétrie par rapport à la première bissectrice, j'ai une représentation y=f(x) :



A voir ce patatoïde, et si je ne me suis pas trompé, ça doit s'exprimer plus "joliment" en polaire; et ce haricot a un air de déjà vu : ce doit être une figure "connue"

sauf erreur de calcul ou de raisonnement,

Rudy

par ailleurs, en regardant les intersections avec les axes, le nombre d'or et son inverse interviennent

A vérifier

Rudy

j'ai cru un instant, en voyant ce haricot en forme de rein, que ce serait une néphroïde (étymologiquement : en forme de rein) mais il ne semble pas...

y a-t-il des amateurs pour :
- vérifier s'il n'y a pas d'erreur dans le développement ci-dessus,
- proposer une autre méthode (sûrement en polaire),
- retrouver le nom de cette courbe ou sa famille (épi ou hypo cycloïdes, ou autres)

Rudy

Vous n'aviez pas tout dit, ce n'est pas vraiment la même chose !

Si je reprends l'énoncé complet :

1) C'est immédiat en prenant les modules de l'expression de z' :
OM' = OM²/AM

2) la condition M' C(0,1) implique effectivement OM' = 1, donc OM² = AM

MAIS, avec la point A en i = (0,1) au lieu de (a,0) comme je l'avais supposé, tout ce que j'ai écrit est à reprendre complètement

Je vais regarder si je trouve quelque chose.

Entre temps, Rudi à fait un super boulot, donc je vais arrêter là... Merci Rudi !

bonjour Lehibou

mais je n'en suis pas certain

Et je me demande s'il n'y a pas une façon plus "élégante" de résoudre ce problème

si jandri ou frenicle passent par là...

Rudy

Bonjour Rudy,

De mon côté, j'étais reparti en complexe, comme ça :
z²/(z-i) = e^it
où e^it est un paramétrage de z' sur C(0,1)
z² - ze^it +ie^it = 0
En résolvant en z, on obtient un paramétrage du lieu par t. Malheureusement, on tombe sur un discriminant affreux quand il s'agit d'en trouver les racines complexes, et je me suis arrêté là.
Je le cite quand même, si ça peut inspirer quelqu'un...

oui Lehibou

avec ta méthode, j'arrive à un système en cost et sint, et permets de les exprimer en fonction de x et y de z=x+iy

mais ensuite, en disant cos²t+sin²t=1, j'obtiens quelque chose d'inextricable

Pas d'autres proposition ?

Rudy

Bonsoir Rudy,

En fouinant un peu, je tombe sur les quartiques bicirculaires :
En tout cas, on est dans cette famille de courbes, mais je n'ai pas encore trouvé la bonne.
Ca va peut-être t'inspirer quelque chose ?  

en effet, LeHibou, ça ressemble bigrement au Limaçon de Pascal à méplat

Rudy

Effectivement, le Limaçon de Pascal est tentant...

Bonne soirée !

Hervé

Bonne soirée à toi aussi

Rudy

  merci pour  leHibou et pour rudi    j'ai recu aussi cette reponse


  Wolfram alpha en donne un graphe incomplet :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^ … 9^2%29%3D0

Avec CarMetal on a une jolie pomme :
http://cjoint.com/data/kqrOZBhdC0.htm

je rectifie les deux liens




http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2-sqrt%28x^2%2B%28y-1%29^2%29%3D0

http://cjoint.com/data/kqrOZBhdC0.htm


bonsoir

Bonjour lrachid

C'est bien la même "forme" que celle du post d'hier à 12h15 : ce qui serait intéressant, ce serait d'avoir une résolution moins torturée que celle du même post

Attention :

Dans le lien de WolframAlpha que tu as fournis, tu n'as pas correctement saisi la relation entre x et y puisque tu l'as limitée à

Si tu saisi la relation correcte, , tu obtiendras la bonne forme ici   :



Merci de m'avoir fait connaître CaRMetal

Rudy