Salut,

Je pense que ça suffit de montrer que si on a deux valeurs d'adhérence, la moyenne est une valeur d'adhérence. Je ne suis pas absolument sûr.
Pour faire apparaître la différence de deux termes consécutifs, tu peux par exemple écrire Un - U(n-1) + U(n-1) - U(n-2) + ... mais je ne sais pas ce qui va se passer quand n tendra vers l'infini.
Si tu veux que j'essaie de t'aider mieux, il me faudrait l'énoncé complet s'il te plaît

Léo

Merci d'avoir répondu, voici l'énoncé:

x est une suite bornée de complexes.
y est la suite des moyennes de césaro de x.
Dans la question 1, on m'a demandé de montrer que pour tout k1, |y_k-y_k-1|. (avec N la norme du sup). Ce que j'ai fait.
La deuxième question c'est: en déduire que si x est à valeurs réelles alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de y est un intervalle.

Bonjour à tous !

Considère 2 valeurs d'adhérence. Mettons v et w (v<w). Il suffit que tu montres qu'il existe une valeur d'adhérence l strictement entre v et w.

Pour cela il faut et il suffit de montrer qu'il existe une infinité de termes de la suite u dans l'intervalle ]v,w[ et Bolzano-Weierstrass te permettra de conclure. Pour cela tu dois bien sûr utiliser le fait que la distance entre 2 termes consécutifs tend vers 0.

En gros : Vu que v est valeur d'adhérence on considère un terme proche de v (par rapport à w-v) et de rang suffisamment grand pour que la distance entre 2 termes consécutifs soient petite (toujours par rapport à w-v) puis on considère un terme de rang plus grand proche de w (par rapport à v-w). Nécessairement pour les "relier" il y aura des termes dans ]v,w[. Puis on considère un terme de rang encore plus grand proche de v...ainsi de suite. (récurrence)

A vrai dire je ne sais pas si ce que j'ai écrit est bien compréhensible. Donc si tu as des questions...

Dsl Matovitch, je n'ai pas tout compris:
quand tu dis "proche" ça veut dire quoi? ? Et même "relier", je n'arrive pas bien à comprendre.
La conclusion avec BW ça c'est bon.

serait préférable. Je vais de ce pas faire une illustrations car un petit dessin vaut toujours mieux qu'un long discours. (en fait il vaut mieux avoir les deux)

Voilà, j'espère qu'avec le dessin tu arriveras à suivre l'explication qui suit la locution (et non l'allocution) "en gros" mais si ce n'est toujours pas clair n'hésite pas.

Pour prouver que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite u : , telle que n u(n+1) - u(n) tende vers 0 , est un intervalle on peut raisonner par l'absurde .
On y arrive très bien avec un peu de soin ( et peut-être d'un dessin)

Merci pour vos réponses, je me sens vraiment bête là, mais j'ai encore besoin d'explications en +.

Bon! Avec mes notations :
Soit F l'ensemble des valeurs d'adhérence de u , qu'on suppose non vide . On suppose que F contient a et b tels que a < b et on prend c dans ]a , b[ . On veut montrer que c F ; qui est l'ensemble des réels t  vérifiant :
" > 0 , n , p n tq |u(p) - t| "
(Si tu connais la notion d'adhérence , cela veut dire que t est adhérent à tous les ensembles {u(n),u(n+1),....})


On peut , comme je l'ai dit  le 31-08-11 à 18:29 , raisonner  par l'absurde mais aussi  directement ,ce que je vais faire :
On se donne donc > 0 et n un entier et on cherche à montrer que [c - , c + ] {u(n),u(n+1),....} est non vide :

..On commence par diminuer (pour le cas où a ou b seraient dans [c - , c + ] ) . On pose par exemple r = Min(,(c - a)/2 , (b - c)/2) . Je te laisse vérifier que [c - r, c + r] est contenu dans ]a , b[ . (un dessin t'aidera à visualiser)
..On  exploite ensuite
  ... le fait que u(k + 1) - u(k) tend vers 0 lorsque k tend vers + : on peut trouver un entier N₁ tel que pour tout k >  N₁ on ait |u(k + 1) - u(k)| r . On pose N = n + N₁ .
  ...le fait que a est adhérent à tous les {u(j),u(j+1),....} : comme ]- , c -r[ est un ouvert contenant a , il rencontre {u(N+1),(N+2),....} . On peut donc trouver p N+1 tel que u(p) < c - r .
  ... et enfin le fait que b est adhérent à tous les {u(j),u(j+1),....} : comme ]c + , +[ est un ouvert contenant b , il rencontre {u(p),u(p+1),....} ce qui est dire que J := { k | k p et u(k) > c + r } est non vide . On désigne par  q son plus petit élément de sorte que  u(q) > c + r. Comme on a q > p (puisque  u(p) < c - r < c + r ) , ona aussi q - 1     et   u(q - 1) c + r .
Par ailleurs u(q - 1) - (c - r) = u(q - 1) - u(q) + u(q)- (c - r) = r - (u(q) - u(q - 1)) + u(q) - c u(q) - c > r  > 0 ce qui prouve que  : u(q - 1) ]c - r , c + r[ donc à [c - , c +] .
Comme q - 1 > p - 1 > N n on a u(q - 1) [c - , c +] {u(n),u(n+1),......} .
Cela termine la preuve .


  

Merci beaucoup Kybjm d'avoir pris le temps de tout m'expliquer en détails, c'est très gentil de ta part. J'ai enfin compris!

Il me reste 2 petites questions:

-je pensais prendre , ça me permettrait de prendre . Dans ma tête, c'est plus clair. Je ne perds pas de généralité en faisant ça?
-au début on suppose F non vide et contenant 2 éléments distincts. Est-ce que si A est vide ou réduit à un point, on peut considérer que c'est un intervalle?

Mes questions sont un peu bêtes et de l'ordre du détail mais je voudrais vraiment bien le rédiger.

Merci, en tout cas.

..Un point a de est l'intervalle [a , a]
.. = ]x , x[ pour tout x , peut être considéré  comme un intervalle.
..Si tu prouves que , pour tout (a,b) de F² , (a + b)/2 est aussi dans F tu peux encore conclure que F est un intervalle en remarquant que F est fermé et que { (x+y)/2 | (x,y) F²} est dense dans F ; mais je ne vois pas de gain énorme de simplicité pour la preuve de (a + b)/2 F .

D'accord pour tout ça.
Je vous remercie encore et beaucoup.
Julie

Je connais ce devoir Julie37, c'est marrant, je suis précisément en train de le travailler !
En tout cas merci à kybjm pour son aide précieuse, je pense que l'on peux réécrire sa démonstration avec des suites extraites, je vais essayer.
Bon courage...