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Ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite
Bonsoir,
j'ai du mal à démontrer une propriété de mon livre. La définition que j'ai de l'adhérence d'une partie A d'un espace topologique (X,T) est que c'est le plus petit fermé contenant A (ou l'intersection de tous les fermés contenant A, c'est équivalent). Il est dit dans mon livre que :
"Soit A l'ensemble des valeurs d'adhérence de ; alors
. "
J'ai pu montrer l'inclusion de A dans l'intersection des Fn mais je bloque pour l'inclusion réciproque à cause justement de l'adhérence. Je m'explique. Définition que j'ai d'une valeur d'adhérence :
" est valeur d'adhérence de
si :
où est l'ensemble des voisinages de
."
J'ai commencé ainsi :
Soit . Alors
.
Soit . On a
. Au début, je pensais alors qu'il suffisait de dire qu'on trouvait bien un terme de la suite qui appartienne à V, mais justement comme on travaille avec des adhérences rien n'empêche de prendre un élément de la frontière qui n'est pas dans Fn par exemple (ou je me trompe ?) : je bloque.
Quelle est la solution ? Merci d'avance.
Salut Kernelpanic.
Attention, il y a une subtilité ici : il ne faut pas confondre l'adhérence d'un ensemble A qui est effectivement l'intersection de tous les fermés qui contiennent A et l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite qui sont en fait toutes les points de l'espace topologique pour lesquels il y a une sous-suite qui converge vers ce point (à ne pas confondre avec point d'accumulation non plus)
Oui j'ai bien fait cette distinction jsvdb, quand je parlais de l'adhérence c'était surtout pour les
et non pas A.
C'est bon ! Je me suis rappelé de ce que voulait dire "appartenir à l'adhérence d'une partie A"...
On reprend.
Soit .
Soit .
On a donc par définition de V que .
Ainsi .
Or .
Donc .
Par l'arbitraire sur n, .
On a l'égalité des ensembles, et on a ce que l'on voulait.
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