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Ensemble, fonction

Posté par
H_aldnoer
10-10-05 à 22:21

Bonsoir,

voila un exercice qui me pose probleme :
  
   Soient \rm E un ensemble et \rm Y, \rm Z deux sous-ensembles non vides de \rm E.
L'objectif est l'étude de la fonction suivante :
\rm f:\mathcal{P}(E)\rightarrow\mathcal{P}(Y)x\mathcal{P}(Z)\\A\rightarrow(A\cap Y,A\cap Z)

>Montrer que \rm f est injective si et seuleument si \rm Y\cup Z=E

merci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Ensemble, fonction 11-10-05 à 06:27

Bonjour,

(\Longleftarrow )
Supposons que f(A)=f(A')
A\cap Y=A'\cap Y
A\cap Z=A'\cap Z
Alors :
A=A\cap E=A\cap(Y\cup Z)=(A\cap Y)\cup(A\cap Z)=(A'\cap Y)\cup(A'\cap Z)=A'\cap(Y\cup Z)=A'\cap E=A'

(\Longrightarrow )
Raisonnons par l'absurde.
Supposons que W=E\setminus (Y\cup Z) non vide
Alors W\cap Y=\empty et W\cap Z=\empty
Dans ce cas, f(\empty)=f(W)
Donc, puisque f est injective, W=\empty. Impossible

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 11-10-05 à 20:10

Bonsoir,

je ne saisi pas pourquoi \rm A=A\cap E ?

merci encore.

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 11-10-05 à 20:18

et je ne saisi pas aussi vos (\Longleftarrow) et (\Longrightarrow) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Ensemble, fonction 12-10-05 à 03:35

Bonjour,

(1) Il s'agit de montrer une équivalence ("si et seulement si"), c'est-à-dire :
"f est injective" <=> "YUZ=E"
(=>) et (<=) désignent simplement chacune des deux implications à démontrer.

(2)
A est une partie de E.
AE=A est donc une évidence.

Ca va ?

Nicolas

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 14-10-05 à 20:22

Oui merci c'est plus claire pour les notations cependant je ne saisi pas bien votre deuxieme implication ... ?!?

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 15-10-05 à 12:46

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Ensemble, fonction 15-10-05 à 14:23

Bonjour,

Ce que j'ai écrit me semble juste.
Quelle ligne vous ne comprenez pas ?

Nicolas

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 16-10-05 à 00:42

oups !

j'avais oublier de préciser qu'il s'agissait d'une autre question excusez moi !!
---

Toujours avec la meme fonction, montrer que \rm fsurjective si et seuleument si \rm Y\cap Z=\empty

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 16-10-05 à 10:58



pleaz

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 16-10-05 à 15:53

Posté par
H_aldnoer
re : Ensemble, fonction 16-10-05 à 20:30

!!!

Posté par biondo (invité)re : Ensemble, fonction 17-10-05 à 13:52

Salut,

Je ne fais pas tout, a toi de trouver les "calculs" manquants.

Si Y inter Z = vide:

Soient C et D des elements de P(Y) et P(Z), alors je pretends que A = C union D est un antecedent de (C,D).
Donc f surjective.



Reciproquement si f surjective,

Alors (Y,vide) possede un antecedent A par f.
A inter Y = Y
A inter Z = vide

je pretends qu'alors, Y inter Z = vide.

A toi de jouer
Reposte si ca ne vient pas.

A+
biondo



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