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Ensemble infini

Posté par Profil Ramanujan 26-06-19 à 01:28

Bonsoir,

Je suis dans le cours sur les familles indexées et je ne comprends pas du tout cet exemple :

Soit I un ensemble quelconque.
Lorsque (x_i)_{i \in I} est une famille d'éléments de \R indexée par un ensemble I, on ne peut définir algébriquement \sum_{i \in I} x_i que lorsque \{ i \in I \  |   x_i \ne 0 \} est fini.
Une telle famille est infinie bien que l'ensemble \{ x_i \  | \ i \in I \} soit fini.

Pourquoi la famille est infinie bien que  l'ensemble \{ x_i \  | \ i \in I \} soit fini ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Ensemble infini 26-06-19 à 06:56

Bonjour,
Poser J = \{ i \in I \ | x_i \ne 0 \} qui est fini.

\{ x_i \ | \ i \in I \} est inclus dans l'union de J et {0} ; et est donc fini.

Un exemple :
xi = |i-3| - (i-3) avec I = .

Posté par
verdurinre : Ensemble infini 26-06-19 à 07:00

Bonjour,
pour donner un exemple avec I=\N.

On considère la suite (x_n)_{n\in\N} définie par u_0=1,\ u_1=\pi et u_n=0 si n>1.
On a bien une suite infinie ( on peut déterminer u_n quelque soit l'entier n\in\N. )
Mais \{ u_i \  | \ i \in \N \}=\{0,1,\pi\}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Ensemble infini 26-06-19 à 07:11

Bonjour verdurin
Un truc me chiffonne dans ce qu'écrit Ramanujan :
Ne faudrait-il pas y préciser que l'ensemble I est infini ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Ensemble infini 26-06-19 à 07:14

Et je corrige mon erreur :
\{ x_i \ | \ i \in I \} est inclus dans l'union de \{ x_i \ | \ i \in J \} et \{0\} ; et est donc fini.

Posté par
verdurinre : Ensemble infini 26-06-19 à 07:23

Bonjour Sylvieg .
Je suis d'accord avec toi.

Pour que la famille soit  infinie il faut que l'ensemble des indices le soit.

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 26-06-19 à 13:35

Désolé j'ai oublié l'hypothèse I infini.

@Verdurin
Merci pour l'exemple.

@Sylvieg
En notant  J = \{ i \in I \  |   x_i \ne 0 \} et en supposant qu'il est fini.

Il faut montrer que :  \{ x_i \  | \ i \in I \} \subset \{ x_i \  | \ i \in J \} \bigcup \{0\}

Soit x \in \{ x_i \  | \ i \in I \}  
Alors \exists i \in I, x=x_i

Si x=0 alors x \in  \{0\} \subset   \{ x_i \  | \ i \in J \} \bigcup \{0\}

Si x \ne 0 alors x_i \ne 0 et trivialement x \in  \{ x_i \  | \ i \in J \} \subset  \{ x_i \  | \ i \in J \} \bigcup \{0\}  

En quoi montrer l'inclusion permet de montrer que \{ x_i \  | \ i \in I \} est fini ?

Posté par
jsvdbre : Ensemble infini 26-06-19 à 13:37

Salut !
Je ne comprends absolument rien, où est le problème à résoudre ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 26-06-19 à 13:40

Une telle famille est infinie bien que l'ensemble \{ x_i \  | \ i \in I \} soit fini.

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 26-06-19 à 13:48

Si I est un ensemble infini, pourquoi on dit que la famille des (x_i)_{i \in I} est infinie alors que \{ x_i \  | \ i \in I \} est fini ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Ensemble infini 26-06-19 à 13:53

Car I est infini, mais les valeurs xi sont en nombre fini.

Citation :
En quoi montrer l'inclusion permet de montrer que \{ x_i \ | \ i \in I \} est fini ?
La réunion de 2 ensembles finis n'est pas infinie.

card (AB) card (A )+ card (B) .

Posté par
verdurinre : Ensemble infini 26-06-19 à 14:05

Pour faire plus classe qu'un exemple.
Une famille (x_i)_{i\in I} à valeurs dans \R est le graphe d'une application de I dans \R.

Comme c'est le graphe d'une application c'est une partie F de I\times\R vérifiant

\forall i\in I\ \exists! x_i\in \R\quad (i,x_i)\in F

Si I est infini, il est clair que F l'est aussi : on a une bijection évidente entre I et F.

Posté par
lionel52re : Ensemble infini 26-06-19 à 14:12

D'ailleurs le résultat est chelou

I = \mathbb{R}
x_i = \frac{1}{i^2 + 1} si i est entier et 0 sinon.

Après j'avoue que y a le terme "algébriquement" mais bon

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 26-06-19 à 14:56

@Sylvieg
Ok merci.

@Verdurin
Tout compris sauf la dernière ligne comment vous montrez que F est infini si I est infini ?

Posté par
verdurinre : Ensemble infini 26-06-19 à 15:24

L'application de I dans F définie par i\mapsto(i,x_i) est bijective.

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 27-06-19 à 02:21

Comment montrer vous que cette application est bijective ? Ça ne m'a pas l'air évident.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Ensemble infini 27-06-19 à 07:42

Bonjour,
L'unicité pour les antécédents de (i,xi) est effectivement difficile à démontrer

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 27-06-19 à 12:09

Il faut montrer (si on note u : I \longrightarrow F l'application )

\forall (i,x_i) \in F , \exists ! i \in I , u(i) = (i,x_i)

L'injectivité est évidente. Si on a : u(i)=u(i') \implies (i,x_i)=(i',x_{i'}) \implies i=i'

Mais la surjectivité ?

Posté par
lafol Moderateurre : Ensemble infini 27-06-19 à 13:56

Elle est encore plus évidente... Trouver i quand on a (i ; x_i) c'est si difficile que ça ? C'est la lecture qu'il va bientôt falloir réviser ?

Posté par
FLEURISTINre : Ensemble infini 27-06-19 à 14:01

lafol @ 27-06-2019 à 13:56

Elle est encore plus évidente... Trouver i quand on a (i ; x_i) c'est si difficile que ça ? C'est la lecture qu'il va bientôt falloir réviser ?


Pourquoi tu le clash autant comme ça ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 28-06-19 à 02:28

Quelqu'un peut-il m'aider pour la surjectivité ?

Posté par
lafol Moderateurre : Ensemble infini 28-06-19 à 08:09

Tu commences à voir pourquoi, FLEURISTIN?

Posté par
FLEURISTINre : Ensemble infini 28-06-19 à 11:53

lafol @ 28-06-2019 à 08:09

Tu commences à voir pourquoi, FLEURISTIN?


@lafol . J'ai parcouru son historique de ces sujets. Excuse moi, j'aurai dû avoir le contexte... les questions de Mehdi sont très anecdotiques, voir d'une trivialité extrême comme pour sa dernière question.

@Medhi, J'ai cru comprendre que tu voulais passé le Capes ?
Bref, sais-tu pourquoi l'application de ExF dans E qui à un couple (x,y) associe x est surjective ? Si tu sais pourquoi, alors tu sauras répondre à ta propre question

Posté par
lionel52re : Ensemble infini 28-06-19 à 12:09

Il a dit sur un autre forum que son but dans la vie c'est pas davoir le Capes mais de savoir résoudre des problèmes de Centrale Mines voire des sujets d'agrégation, mais juste pour le plaisir je crois pas pour tenter les concours.

Posté par
FLEURISTINre : Ensemble infini 28-06-19 à 12:18

Ah d'accord. Projet très ambitieux.
Il faut qu'il revoit sérieusement sa méthode de travail, c'est l'une des clés de la réussite.
J'ai été moi même "nul" en math et suis fier maintenant d'être prof de math en BCPST1.

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 28-06-19 à 12:19

Le CAPES ne m'intéresse pas. J'aimerais bien avoir l'agrégation mais d'ici quelques années. En fait j'aimerais enseigner en prépa.
Mais aussi les mathématiques du supérieur me passionnent. Par contre les maths de collège lycée je m'ennuie à mourir.

Revenons au sujet, on a : u(i) = (i,x_i)

Il faut montrer que \forall (j,x_j) \in F , \exists i \in I, u(i) = (j,x_j)

Soit (j,x_j) \in F. Il suffit de prendre : j=i

C'est juste ça ?

Posté par
FLEURISTINre : Ensemble infini 28-06-19 à 12:25

Enseigner en prépa ? Ok.
Pour ton post, ok, mais pas besoin d'un grand formalisme juste pour ça .

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble infini 28-06-19 à 12:30

Ok.

Oui je sais enseigner en prépa c'est pas donné à tout le monde, mais en attendant j'apprends sans objectif de concours, je veux juste apprendre le programme de MPSI et avoir des connaissances et des méthodes.

Posté par
lafol Moderateurre : Ensemble infini 28-06-19 à 14:09

Ramanujan @ 28-06-2019 à 12:19

Par contre les maths de collège lycée je m'ennuie à mourir.


je ne voudrais pas dire, mais ta question de surjectivité c'est une question de collège/lycée ....
peut-être pas en ce moment, mais il y a quelque temps, c'était typiquement le genre d'exo qu'on faisait dans les quinze jours de révisions du début de seconde (à l'époque "révisions" en début d'année n'était pas un gros mot)


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