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Ensemble se contenant lui même (encore !)

Posté par
Eminho
20-07-17 à 09:58

Bonjour,

Je suis en train de m'intéresser ces derniers temps à la théorie des ensembles. Je suis coincé sur une question concernant l'ensemble qui contient tous les ensembles.

Je lis actuellement le superbe cours de culture mathématiques de l'ENS par Jean Feydy que vous pouvez retrouver ici : http://www.math.ens.fr/~feydy/Teaching/culture_mathematique.pdf

Je coince en page 30 quand il est demandé de démontrer l'inexistance de l'ensemble qui contient tout à l'aide du schéma d'axiomes de séparation. Voici l'axiome de séparation tel qu'il est énoncé dans le document :

Pour toute formule \varphi (v_0, ..., v_n), on a :
\forall v_1, ... v_n, \forall a, \exists b, \forall x, (x\in b  \Leftrightarrow (x \in a \wedge \varphi(x, v_1,...,v_n)))

D'après le document, on pourrait démontrer la formule suivante en partant de cet axiome :
 \neg  \exists x,  \forall z; z \in x

J'ai essayé plusieurs formules, en cherchant des ensembles "a" qui formeraient un ensemble contradictoire mais je n'ai pas réussi.

L'un d'entre vous aurait-il une idée ?

Merci !

Posté par
luzak
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 10:47

Bonjour !
Je n'ai pas le temps d'aller voir le cours cité mais je te propose la démonstration simple suivante :
On suppose qu'il existe un ensemble E qui contient tous les ensembles.
Soit la partie F définie par x\in F\iff (x\in E\,\mathroman { et }\, x\notin x).

Alors tu as une contradiction :
Si F\in F alors, par définition de F, F\notin F.
Si F\notin F, puisque F\in E, on aurait F\in F.

Posté par
Eminho
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 12:15

Je ne vois pas de contradiction dans ce que tu as écris.

L'ensemble des éléments x de E tels que x n'est pas élément de lui même est l'ensemble vide...

Justement, l'objectif de cet axiome est de dire que tout ensemble défini comme sous-ensemble d'un ensemble déjà existant par une formule existe.

Par ailleurs, dans ton raisonnement, E pourrait être n'importe quel ensemble (tu n'utilises à aucun moment le fait que E contienne tous les ensembles)

Continuons de chercher (sauf si tu arrives à contredire mes arguments)

Posté par
luzak
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 13:00

Quand j'écris "puisque F\in E" il me semble que j'utilise bien que E contient tous les ensembles.

Si tu ne vois pas de contradiction dans F\in F\implies F\notin F il faudra revoir quelques règles logiques.
..................................................................
Quant tu affirmes

Citation :

L'ensemble des éléments x de E tels que x n'est pas élément de lui même est l'ensemble vide...

je ne vois aucune démonstration.
Et même en l'admettant,  tu as toujours deux possibilités : ou bien F=\emptyset\in F ou bien F=\emptyset\notin F ce qui ramène à ma contradiction.

Posté par
Eminho
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 13:03

Au temps pour moi. Merci pour cet éclaircissement

Posté par
WilliamM007
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 15:03

Bonjour,

J'ai feuilleté le document, qui effectivement a globalement l'air assez sérieux et instructif. Cependant, il est à mon sens vraiment très maladroit d'avoir introduit le schéma d'axiomes de séparation (ou compréhension) après avoir mis en exercice de comprendre le paradoxe de Russel !

Laissez-moi vous expliquer mon point de vue.

D'abord, un petit mot sur l'inexistence de l'ensemble qui contient tous les ensembles. Cet énoncé est très connu, mais souvent mal compris, et mal justifié. Essentiellement parce que l'on confond bien souvent ensemble au sens formel et ensemble au sens intuitif.

Alors quelle est la différence entre un ensemble intuitif et un ensemble formel ?
On se donne un univers U qui n'est autre qu'une collection d'objets, appelés ensembles.  Cette collection est supposée non vide et munie d'une relation binaire appelée relation d'appartenance, notée . Un ensemble formel n'est alors rien d'autre qu'un objet de U, par définition. Quant à un ensemble intuitif, il s'agit simplement de n'importe quelle collection d'objets saisissable par l'esprit.  Notamment, un ensemble formel est un exemple d'ensemble intuitif, mais l'inverse n'est bien sûr pas vrai. En général, le mot "ensemble" est réservé aux ensembles formels, c'est-à-dire les objets de U, et on parlera plutôt de "collection" au lieu d'ensemble intuitif. D'ailleurs, l'univers U est bien une collection, c'est-à-dire un ensemble intuitif, mais certainement pas un ensemble (formel).

Ne croyez pas que l'intuition n'a aucune emprise sur le formel. C'est même le contraire, car l'essence même des axiomes de la théorie des ensembles (en général ZF ou ZFC) est d'imposer des propriétés à la relation d'appartenance pour qu'elle corresponde à notre intuition. Par exemple, deux ensembles sont égaux ssi ils contiennent exactement les mêmes éléments. En général, cet axiome (dit d'extensionnalité) est unanimement accepté.

Maintenant que l'on sait que l'on parle de la même chose, on peut reformuler le paradoxe de Russel de la manière suivante :
La collection des ensembles n'est pas un ensemble. Ainsi, ne croyez pas qu'un tel objet n'existe pas.  Il a même une définition mathématique rigoureuse : c'est la relation à un argument "R(x): x=x". Ce que nous dit le paradoxe de Russel, c'est que cette collection n'est pas un objet de l'univers. Ou, plus rigoureusement, il n'existe aucun ensemble a vérifiant
\forall x,(x=x\iff x\in a)

Maintenant que cela est clair, pourquoi dis-je qu'il est vraiment maladroit d'avoir parlé du paradoxe de Russel avant le schéma d'axiomes de séparation ? Tout simplement parce que la démonstration correcte du paradoxe de Russel utilise ce schéma. En effet, luzak propose de définir la partie F par
x\in F\iff (x\in E\wedge x\neq x)
Mais pourquoi est-ce que l'ensemble F existe ? Ou plutôt, pourquoi l'objet F, qui existe, est bien un ensemble ? Justement grâce au schéma d'axiomes de séparation, appliqué \varphi(x): x\neq x !
En effet, si F n'est pas un ensemble (ce qui est impossible à déterminer sans ce précieux axiome), alors la démonstration n'a aucune valeur !

Alors vous allez me dire "oui, mais c'est quand même instructif d'avoir le paradoxe de Russel avant d'introduire cet axiome, car la démonstration peut se comprendre de manière informelle".
Désolé, mais non. L'intérêt d'introduire le paradoxe de Russel, c'est de montrer justement qu'il existe des ensembles intuitifs qui ne correspondent à rien (comprendre : aucun ensemble formel), et donc de rendre le lecteur prudent. Alors, si cet "ensemble des ensembles" n'existe pas, excusez-moi mais à ce stade là, si l'on ne formalise rien, cela ouvre la porte à tous les doutes possibles. Même en restant informels, pourquoi l'ensemble F de luzak existerait, lui ?!

Fin du pavé.

Posté par
kaboum
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 16:08

Hello,

J'ai trouvé cette vidéo sur le paradoxe de Russell assez intéressante. Il faudrait la visionner avant de poser les notations d'ensemble dessus, elle est assez intuitive.
Bon visionnage

Posté par
jsvdb
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 20-07-17 à 22:01

Bonjour !

@WilliamM007 : je pense que tu as bien résumé la situation concernant la différence entre ces deux notions d'ensembles dits "intuitifs" et celle d'ensembles dits "formels".
L'étude des "éléments de mathématique : Théorie des ensembles" de Bourbaki est assez éclairante à ce sujet.
On y relève notamment que la mise en place d'un langage mathématique, purement logique, nécessite l'existence d'un langage qui va lui donner naissance. Ce dernier porte le nom de "métalangage".

Partant, le mélange entre le langage formel et le métalangage est inéluctable et donc tu en arrives à cette quasi lapalissade : "Ne croyez pas que l'intuition n'a aucune emprise sur le formel".

Il convient donc de se donner une définition simple du mot ensemble au sens formel : on appelle ensemble, tout terme de la théorie des ensembles.

Et cette définition en comporte deux autres : celles de "terme" et de "théorie". Ces deux notions sont parfaitement expliquées et sont très limpides dans l'opus cité.

Et j'ai toujours bon espoir qu'un jour on parle d'assemblages, de constructions formatives, de terme, et de relations etc etc dans les universités et tout lieu d'éducation en mathématique supérieure.

Termes et relations
Théorèmes
Théories logiques

Posté par
luzak
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 21-07-17 à 11:05

Bonjour !
Il me revient à l'esprit un exemple concret.
On baptise "livre" tout ensemble (au sens naïf) de feuilles imprimées reliées.
Par conséquent un "catalogue" est un livre.
Il y a des catalogues qui  ne se "mentionnent" pas : un catalogue de romans n'est pas un roman.
Il y a des catalogues qui se mentionnent : par exemple le catalogue des livres de 50 pages peut être un livre de 50 pages.

Alors, quid du catalogue des "catalogues qui ne se mentionnent pas" ? Se mentionne-t-il ou pas ?
..............................................
On cite souvent pour illustrer ces contradictions le problème du barbier : dans un village le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes !
Qui rase le barbier ? Faux paradoxe : le barbier peut être une femme ou ne pas avoir de barbe.

Posté par
WilliamM007
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 21-07-17 à 11:25

Dans le même esprit :

Un mot hétérologique est un mot qui ne se décrit pas lui-même. Par exemple, le mot "illisible" est hétérologique, car peut très bien être lu. Le mot "français" n'est pas hétérologique, car c'est bien un mot français.

Le mot "hétérologique" est-il hétérologique ?

Posté par
jsvdb
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 21-07-17 à 16:22

C'est la machine à remonter le temps ?
Nous voilà revenu au temps de Russel et de ses paradoxes 😂😂😂

Posté par
jsvdb
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 22-07-17 à 11:26

Et il y a surtout un autre problème :  c'est que tous les paradoxes qui  sont évoqués dans la littérature le sont avec des mots du langage courant  : ils ne sont pas exprimés en langage formel. Et donc en tant que tels ils ne sont pas soumis aux actions du langage formel.
Inversement si on tente de les traduire dans le langage formel ils vont devoir être soumis aux  axiomes du langage formel et  vont devoir être  traités comme tels.
Un paradoxe n'est donc paradoxe que vis-à-vis du langage où il est exprimé.
Dans la belle langue de Molière il n'y a pas de notion de relation collectivisante, ce qui n'est pas le cas du langage ZFC ( A fortiori Bourbaki ).  Et dans le langage formel c'est précisément la notion de relation collectivisante  qui a permis de balayer les paradoxes qui ont fleuri au cours de l'histoire .
Par suite toute tentative d'exprimer des paradoxes en français pour les traduire en langage formel ou inversement est vouée par principe à l'échec, les règles de traitement n'étant pas les mêmes dans les deux langages.

Posté par
luzak
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 22-07-17 à 11:50

Bonjour jsvdb !
Tout à fait d'accord avec toi mais on peut quand même s'amuser !

Posté par
jsvdb
re : Ensemble se contenant lui même (encore !) 22-07-17 à 14:55

Bonjour luzak
Alors, vu sous cet angle, que ce soit du Bourbaki ou pas, c'est pas moi qui vais te contredire ...



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