Bonjour,
J'ai feuilleté le document, qui effectivement a globalement l'air assez sérieux et instructif. Cependant, il est à mon sens vraiment très maladroit d'avoir introduit le schéma d'axiomes de séparation (ou compréhension) après avoir mis en exercice de comprendre le paradoxe de Russel !
Laissez-moi vous expliquer mon point de vue.
D'abord, un petit mot sur l'inexistence de l'ensemble qui contient tous les ensembles. Cet énoncé est très connu, mais souvent mal compris, et mal justifié. Essentiellement parce que l'on confond bien souvent ensemble au sens formel et ensemble au sens intuitif.
Alors quelle est la différence entre un ensemble intuitif et un ensemble formel ?
On se donne un univers U qui n'est autre qu'une collection d'objets, appelés ensembles. Cette collection est supposée non vide et munie d'une relation binaire appelée relation d'appartenance, notée . Un ensemble formel n'est alors rien d'autre qu'un objet de U, par définition. Quant à un ensemble intuitif, il s'agit simplement de n'importe quelle collection d'objets saisissable par l'esprit. Notamment, un ensemble formel est un exemple d'ensemble intuitif, mais l'inverse n'est bien sûr pas vrai. En général, le mot "ensemble" est réservé aux ensembles formels, c'est-à-dire les objets de U, et on parlera plutôt de "collection" au lieu d'ensemble intuitif. D'ailleurs, l'univers U est bien une collection, c'est-à-dire un ensemble intuitif, mais certainement pas un ensemble (formel).
Ne croyez pas que l'intuition n'a aucune emprise sur le formel. C'est même le contraire, car l'essence même des axiomes de la théorie des ensembles (en général ZF ou ZFC) est d'imposer des propriétés à la relation d'appartenance pour qu'elle corresponde à notre intuition. Par exemple, deux ensembles sont égaux ssi ils contiennent exactement les mêmes éléments. En général, cet axiome (dit d'extensionnalité) est unanimement accepté.
Maintenant que l'on sait que l'on parle de la même chose, on peut reformuler le paradoxe de Russel de la manière suivante :
La collection des ensembles n'est pas un ensemble. Ainsi, ne croyez pas qu'un tel objet n'existe pas. Il a même une définition mathématique rigoureuse : c'est la relation à un argument "R(x): x=x". Ce que nous dit le paradoxe de Russel, c'est que cette collection n'est pas un objet de l'univers. Ou, plus rigoureusement, il n'existe aucun ensemble a vérifiant
Maintenant que cela est clair, pourquoi dis-je qu'il est vraiment maladroit d'avoir parlé du paradoxe de Russel avant le schéma d'axiomes de séparation ? Tout simplement parce que la démonstration correcte du paradoxe de Russel utilise ce schéma. En effet, luzak propose de définir la partie par
Mais pourquoi est-ce que l'ensemble existe ? Ou plutôt, pourquoi l'objet , qui existe, est bien un ensemble ? Justement grâce au schéma d'axiomes de séparation, appliqué !
En effet, si n'est pas un ensemble (ce qui est impossible à déterminer sans ce précieux axiome), alors la démonstration n'a aucune valeur !
Alors vous allez me dire "oui, mais c'est quand même instructif d'avoir le paradoxe de Russel avant d'introduire cet axiome, car la démonstration peut se comprendre de manière informelle".
Désolé, mais non. L'intérêt d'introduire le paradoxe de Russel, c'est de montrer justement qu'il existe des ensembles intuitifs qui ne correspondent à rien (comprendre : aucun ensemble formel), et donc de rendre le lecteur prudent. Alors, si cet "ensemble des ensembles" n'existe pas, excusez-moi mais à ce stade là, si l'on ne formalise rien, cela ouvre la porte à tous les doutes possibles. Même en restant informels, pourquoi l'ensemble de luzak existerait, lui ?!
Fin du pavé.