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Niveau Maths sup
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Ensemble vide

Posté par Mayo (invité) 18-07-05 à 15:18

salut à tous, voilà une qestion me turlupine !!
En effet pendant toute l'année nous avons écrit
F \oplus G \Longleftrightarrow E \cap F = \oslash
Or je viens de découvrir dans un livre de cours que l'on pouvait écrire:
E \cap F = \left{0 \right}

C'est à dire que l'ensemble vide et {0} sont égaux? identiques? je ne sais pas quel vocabulaire on doit employer mais je pensais que l'ensemble vidé n'était constitué d'aucun élément alors que {0} possède un unique élément, le vecteur nul.
Merci de m'éclairer sur ce ^point.

Posté par Mayo (invité)re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:19

pardon une erreur de frappe
Il faut lire E \oplus F

Posté par
otto
re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:24

Bonjour,
soit ton prof écrit des conneries, soit tu as mal lu, mais c'est bien entendu faux.
Sinon je ne crois pas que l'on ai  F\oplus G \Leftrightarrow F\cap G=\oslash

Posté par
otto
re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:25

Pardon, il faut lire:
"je ne crois pas que l'on ai  F\oplus G \Leftrightarrow F\cap G=\{0\}"

Posté par Mayo (invité)re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:28

hmm attend alors parce que cette version sort d'un bouquin de cours
je te scan cela as tu un mail ou je pourrais te l'envoyer?

Posté par
otto
re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:33

J'entend par là qu'il faut une autre condition, notamment que F+G=E, non?
Tu peux mettre ton image ici si elle n'est pas trop grosse.
En tout cas une chose est sure, la version avec l'ensemble vide est fausse, pour la simple et bonne raison qu'un ev possède toujours au moins un élément, le 0.

Posté par Mayo (invité)re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:48

ok alors j'ai du mal copier en cours :/
Bah F+G=E est necessauire ssi on veut dire que les sevs de E sont supps mais pour la somme directe j'ai bien l'impression que cette condition est suffisante

Posté par jean-émile (invité)re : Ensemble vide 18-07-05 à 15:51

Salut

L'ensemble vide peut se noter ou {}

Mais l'ensemble {0} n'est pas vide : il comporte un seul élément : 0

jean-émile

Posté par
otto
re : Ensemble vide 18-07-05 à 16:22

Possible Mayo, ca fait bien longtemps que je n'ai plus fait d'algèbre.

Posté par titimarion (invité)re : Ensemble vide 19-07-05 à 15:41

Salut, si tu veux parler de somme directe de sous espaces vectoriel on a bien somme directe si l'intersection est réduite au singleton 0.
LK'intersection ne peut pas être vide puisque 0 appartient forcément a tous les sous espaces vectoriels qui ont une structure de groupe abélien.
il y a donc une erreur dans ce que tu as écris durant l'année

Posté par
otto
re : Ensemble vide 19-07-05 à 16:01

Justement, j'ai trouvé plusieurs trucs contradictoire, est ce que c'est vrai même si F+G est différent de E tout entier?
Il semblerait que oui.

Posté par
cinnamon
re : Ensemble vide 19-07-05 à 17:02

Oui, ça c'est vrai (une des rares choses dont je sois sure en algèbre)

Posté par
otto
re : Ensemble vide 19-07-05 à 17:17

C'est un truc qui m'a toujours perturbé ca. Pourquoi une nouvelle notation?
Merci.
A+

Posté par
cinnamon
re : Ensemble vide 19-07-05 à 19:02

De quelle notation tu parles ? le "+" entouré (je sais pas le faire en LATEX)?

Posté par
otto
re : Ensemble vide 19-07-05 à 19:06

Oui, c'est un signe qui a plusieurs signification suivant le cas.
En Tex c'est \oplus et \bigoplus.
A+

Posté par
cinnamon
re : Ensemble vide 19-07-05 à 19:13

"Pourquoi une nouvelle notation?" alors là j'en sais rien...Je sais juste que ça permet de distinguer les cas où la somme est directe et  où elle ne l'est pas...Mais on pourrait bien s'en passer comme beaucoup d'autres choses.

Posté par titimarion (invité)re : Ensemble vide 20-07-05 à 12:32

Pour répondre à Otto, oui cela reste vrai même si G+F n'est pas égal à E
en effet il suffit de considérer le sous espace H=E+F, puisque la somme de deux sous espaces vectoriels reste un sous espace vectoriel.
Le signe somme directe signifie juste que ce sont deux ensembles qui n'ont que l'élément neutre en commun.
Parcontre ce n'est pas vraiment une nouvelle notation et je pense qu'il est très utile de la garder, en effet pour des résultats sur la stabilité des endomorphismes, cela peut être très utile. Car la somme des directes a bien des propriétés que la somme seule ne possède pas.

Posté par
otto
re : Ensemble vide 20-07-05 à 12:37

Salut,
merci. En fait j'avais une idée corrompue à cause du signe qui ressemble beaucoup à celui de la somme.
Comment appelle t'on alors deux ensembles qui sont en somme directe et telle que leur somme soit E tout entier? C'est être supplémentaire c'est ça?
C'est loin, je confond tout.
Merci en tout cas.
A+

Posté par titimarion (invité)re : Ensemble vide 20-07-05 à 13:02

Oui c'est tout à fat cela ce sont deux espaces supplémentaires.
le fait de pouvoir parler des omme directe sans que la somme soit égale à l'espace tout entier permet par exemple de pouvoir faire des raissonnement par récurrence décroissante sur la taille des espaces, ce qui est assez pratique.



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