Bonjour, qui sont a, b et c ?

salut

l'ensemble vide et l'ensemble E sont des objets d'une même catégorie : les ensembles

donc l'un ne peut appartenir à l'autre

l'expression correcte est : ... ? (indépendamment de sa véracité ou non)

Bonjour

Tout dépend de qui sont a,b,c.

Par exemple si , et , on a bien .

Bonjour,

Avis d'un non matheux (moi).

Il me semble que le mot (ou le symbole) "appartient" ne peut pas être utilisé ici.

Un ensemble est inclus dans un autre ou est un sous-ensemble de l'autre ... mais on ne peut pas dire qu'un ensemble (même vide) appartient à un autre ensemble.

Mais tout cela dépend de conventions et définitions ... qui ne sont jamais les mêmes pour tous.

Ça dépend de ce que contient l'ensemble. Par exemple je peux très bien écrire



et remplacer par n'importe quel ensemble E. C'est ce que Camélia et moi voulions sous-entendre.

Rebonjour,

Chacun son avis ...
Le mien n'a pas changé. (mais je n'ai rien d'un matheux, comme déjà dit).

L'ensemble vide est inclus dans n'importe quel autre ensemble (quels que soient les éléments de cet ensemble).

Mais on ne peut pas dire que l'ensemble vide (ou un autre) appartient à un autre ensemble...

C'est, me semble-t-il, ce qui est généralement enseigné, par exemple ici :

et  pratiquement partout.

Revoici le lien qui ne semble pas fonctionner dans mon message précédent.

au niveau élémentaire oui ... et c'est là où je m'étais arrêté à mon premier post

mais la question de Rintaro était fort pertinente ...

car tu peux très bien construire des ensembles d'objets qui sont eux-mêmes des ensembles ...

pour te donner un autre exemple : notons I et P les ensembles des entiers impairs et pairs respectivement et posons E = {I, P}

alors évidemment :   et     et     et  

et si tu consdères F = {I, P, I U P, I P} alors   et

Bonjour,

J'avais bien compris ...

Mais il semble bien que pour beaucoup, même si les "éléments" d'un ensemble E sont eux-mêmes des ensembles, on ne devrait pas dire qu'ils appartiennent à l'ensemble E mais bien qu'il sont des sous-ensembles de E ou bien qu'ils sont inclus dans E.

Ceci n'a évidemment pas d'incidence sur le travail qu'on peut faire avec les ensembles, c'est juste une convention de langage ... Et les conventions et définitions en mathématiques, sont très très loin d'être les mêmes pour tous, et malheureusement pas seulement dans ce cas particuliers.

Je viens de regarder sur le net et ce sujet à déjà été maintes fois abordé, et comme toujours il y a plusieurs écoles et tous avec des arguments allant dans leur sens (quel qu'il soit).
Il semble quand même qu'une grande majorité va dans le sens que j'ai indiqué (ce qui ne prouve rien),

Chacun pense et pensera toujours que ce sont les conventions qu'ils utilisent qui sont les bonnes.

Rebonjour

Je savais bien que je soulevais un lièvre!

J'ai vu un docte séminaire s'écharper pour savoir si dans le cas de P(E) la partie vide de E qui est bien un élément de P(E) est la même que la partie vide de P(E) qui en est une partie... Bien sûr nous ne nous sommes pas mis d'accord!

Je signale aussi qu'il est admis partout que


Pour ma part, dans mes enseignements, j'ai toujours commencé par décrire l'ensemble E dans lequel je prends (ou pas) des éléments et j'ai évité un "vide" ailleurs.

Bonsoir,
il me semble que dans la théorie ZF ( Zermelo-Fraenkel ) qui est la plus utilisée, on a bien un seul ensemble vide.
Pour qu'il en soit autrement il faut accepter que l'on ait deux ensembles différents ayant exactement les mêmes éléments ce qui est un peu bizarre et vraiment contraire à la notion « naïve » d'ensemble.

À candide2

Bonjour,

Ce que j'essaie de dire par un exemple :

Soit:
R l'ensemble des Réels.
Q l'ensemble des rationnels.
I l'ensemble des irrationnels.

On a R{Q , I)

Mais on ne PEUT PAS dire que Q appartient à R, pour que ce soit le cas, il faudrait que Q soit UN nombre réel ... mais ce n'est pas le cas (c'est un ensemble de nombres réels mais pas UN nombre réel)

Il faut dire que Q est inclus dans R ou bien que Q est un sous-ensemble de R ... jamais que Q appartient à R.
*****
Par extension, si on a

On peut dire  que l'ensemble vide est inclus dans A (ou est un sous-ensemble de A}, on a aussi

On peut dire que est inclus dans l'ensemble A mais pas que appartient à A

Mais chacun pense ce qu'il veut.

si alors :

tout comme

mais on n'a pas par contre

Soit  N l'ensemble des entiers... donc, chacun des éléments de N est UN nombre entier.

L'ensemble {2,5} est inclus dans N, il est un sous-ensemble de N mais il n'appartient pas à l'ensemble N ... car {2,5} n'est pas UN nombre entier.

certes mais tu nous donne un exemple d'un ensemble A (définition en extension avec les accolades) qui contient divers objets dont l'un est aussi un ensemble !!

Pour l'exemple de l'ensemble  {Q , I } avec Q l'ensemble des rationnels et I celui des irrationnels. On a un ensemble qui a 2 éléments et on a bien Q{Q , I } mais R=Q I{Q , I }.

On a ici les 2 manières de voir (résumés sur les 3 dernières lignes dans l'extrait du lien ).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Inclusion_(math%C3%A9matiques)

Il n'y a donc pas consensus sur le vocabulaire à utiliser.

Je suis adepte des 2 dernières lignes,

soit avec A et B des ensembles, on peut avoir "B inclut A" ou "A est inclus dans B" mais ne jamais dire "B contient A"

Bonsoir candide2.
Je suis totalement d'accord avec toi.
Même si je n'aime pas la notation .