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ensemble vide connexe?
Bonjour
Un exercice tiré d'un livre de topologie des espaces métriques :
Vrai ou Faux
L'intérieur d'un connexe est connexe
Je réponds oui j'utilise la restriction d'une fonction continue de , la correction dit non et exhibe le singleton
dont
, et conclut mot pour mot : "le vide n'est pas connexe".
Or si on applique la définition de la connexité, est connexe, non?
Merci pour votre aide
Topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés édition ellipses auteur Vincent Blanloeil
cela dit, l'intérieur d'un connexe n'est pas forcément connexe !
c'est le contre-exemple qui est très mal choisi puisqu'il n'en est pas un 
prends dans R² deux disques fermés tangents... et A leur réunion
A est connexe mais pas son intérieur
Juste se rappeler que la proposition classique est A connexe entraîne B connexe pour tout B tel que .
Moi non plus 
Pour le plaisir, je vais tenter une démonstration :
Juste se rappeler que la proposition classique est A connexe entraîne B connexe pour tout B tel que
Puisque
Soit
Et on suppose
Il existe deux ouverts
Puisque
Donc
salut
quel est l"intérêt de faire un raisonnement par l'absurde ...
ce qui compte dans la proposition de jsvdb c'est :
A est connexe => est connexe ...
et il est alors évident que tout ensemble B entre les deux est connexe
Bonjour.
Je suis plutôt pour considérer que l'ensemble vide est convexe.
Et pour la démo : A connexe implique adhérence de A connexe, ça mérite démonstration. Et pourquoi est-ce évident que tout ensemble B entre les deux est connexe ? Pour moi l'outil pour montrer ça est le même que celui pour montrer que l'adhérence est connexe. Personnellement je montrerais plutôt les deux en même temps...
Salut carpediem
Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais par contraposée (ben oui, j'ai pris toutes mes précautions).
A connexe implique fermeture de A connexe est un exercice que j'ai fait il y a pas longtemps, c'est la raison pour laquelle je l'ai considéré comme admis.
Salut carpediem
A connexe implique fermeture de A connexe est un exercice que j'ai fait il y a pas longtemps, c'est la raison pour laquelle je l'ai considéré comme admis.
Mais comment le montres-tu ? Parce que pour moi, la démonstration de
carpediem de visu c'est évident, mais le formaliser en faisant l'économie de tout un arsenal est plus compliqué.
Je vais chercher plus simple
j'ai utiliser l'argument suivant :
Toute fonction continue
J'imagine que tu utilises que deux fonctions continues qui coïncident sur A coïncident aussi sur l'adhérence (si l'espace d'arrivée est séparé). Cette propriété reste évident vraie en remplaçant l'adhérence par un ensemble compris entre A et l'adhérence (ce qui inclut l'adhérence). Cela montre les deux résultats en même temps.
Autrement, je ne vois pas comment c'est évident. Ou alors évident au sens carpediemien du terme :p
On prend une fonction continue de
f(A) est un singleton car A est connexe,
Soit a dans la fermeture de A, il existe une suite qui converge vers a ...et on montre que f(a) est dans f(A)
Ok.
Remplace les mots "fermeture de A" par "B", où B est compris entre A et son adhérence, et ça te fait la démo deux deux d'un coup.
Salut carpediem
Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais par contraposée (ben oui, j'ai pris toutes mes précautions).
la contraposée de a => b est non b => non a
or toi tu supposes a et non b
soit
Et on suppose
Il existe deux ouverts
Puisque
Donc
ok, merci WilliamM007 j'ai compris pour tout point , on a
, donc il existe une
....
Je suis curieux par la proposition que n'a pas fait carpediem.
Je vais chercher ...
ben moi c'est la même chose que WilliamM007 avec
voila ... et la devise d'un de mes excellents prof de math était qui peut le plus peut le moins
ben moi c'est la même chose que WilliamM007 avec
voila ... et la devise d'un de mes excellents prof de math était qui peut le plus peut le moins
ok, c'est compris, je pensais que tu avais une idée beaucoup simple, inutile que je cherche autre chose
Il prend B contenant A.
Il suppose que B n'est pas connexe, et en déduit que B n'est pas inclus dans l'adhérence de A. Il montre donc que B pas connexe => B non inclus dans l'adhérence de A, soit ce qu'on voulait par contraposée.
Il n'a pas écrit : soit B compris entre A et son adhérence. Supposons B non connexe, ... contradiction.
Juste se rappeler que la proposition classique est A connexe entraîne B connexe pour tout B tel que
certes... mais je ne vois pas le rapport avec le sujet ici posé...
Effectivement, si je ne vais pas au fond de ma pensée, autant ne rien écrire.
Je souhaitais dire ici que l'on a une proposition pour
En effet, il est facile de monter des topologies avec des ouverts farfelus, où, en se donnant un "bel" ensemble A, son ouverture est réduite à une pluie de points éparses non connectés.
Puisque
Ah bon ?! Comme ça ?
Intuitivement, si A est connexe, l'adhérence est l'ensemble des points que l'on ne peut pas séparer de A à l'aide d'un ouvert, donc l'adhérence est connexe.
En revanche si on a démontré
jsvdb oui, il faut contextualiser, j'aurais dû le faire, j'ai affirmé que A est connexe alors sa fermture aussi, car je venais juste de faire un exo dessus, et que mon interrogation portait sur B exclusivement.
connexe* pas convexe bien sûr. Enfin si, convexe, mais c'est hors-sujet...
pas tant que ça puisque convexe
connexe par arc connexe Certes, m'enfin la notion de convexe dans un espace topologique quelconque, et en particulier métrique ... bof bof
et conclut mot pour mot : "le vide n'est pas connexe". Or si on applique la définition de la connexité,
Vu que la définition de espace connexe est : espace qui ne peut pas être la réunion de deux ouverts non vides disjoints alors forcément, le vide est connexe, ouf !!! (Idem pour un espace réduit à un singleton).
Pour parler d'espace non connexe, il faut un minimum de deux points dans l'espace, ce qui paraît intuitif.
la correction dit non et exhibe le singleton
T'as été piqué le livre chez Ramanujan ?
jsvdb, Dans le cours également, puisque il dit que :
Tout sous-ensemble de R est connexe si et seulement si c'est un intervalle non vide
Je me pose la question si je dois signaler ces coquilles auprès de l'auteur, mais je n'ai qu'une adresse mail qui n'est pas la sienne...
Ce n'est pas une coquille, c'est un choix de l'auteur. Il se place dans la convention où l'ensemble vide n'est pas connexe.
Ça ne change pas fondamentalement le concept de connexité. Ce qui change surtout, c'est qu'on doit se taper des "non vide" un peu partout dans les théorèmes là où on aurait pu s'en passer en admettant le vide parmi les connexes...
Enfin je rejoins quand même matheuxmatou sur le fait que le contre-exemple est très mal choisi car il donne une importance considérable à sa convention, alors qu'il existe d'autres contre-exemples qui ne dépendent pas du fait de savoir si le vide est connexe ou non.
WilliamM007 je ne suis pas d'accord car cette convention contredit la définition qu'il donne en début de chapitre.
"Un espace métrique (E,d) est connexe s'il n'est pas la réunion disjointes de deux ouverts non vides"
La négation donne :
"Un espace métrique (E,d) n'est pas connexe s'il est la réunion disjointes de deux ouverts non vides"
que je traduis par s'il existe deux ouverts disjoints et non vide tel que leur union est l'ensemble
Et là ça coince un peu...
Il ne dit pas qu'un espace métrique non vide est connexe s'il n'est pas la réunion disjointe de deux ouverts non vides, par hasard ?
Si non, il s'agit bien d'une coquille. Mais je rejoins jsvdb sur l'utilité de poursuivre le débat...
Bonjour WilliamM007 non, il ne précise pas que l'espace métrique est non vide.
J'ai mes réponses donc merci à tous! 
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