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Ensembles

Posté par
davidk 13-03-05 à 11:44

X et Y sont deux parties de l'ensemble E. On pose XY=(X\Y)(Y\X).
1)Démontrer que XY=(XY)\(XY).
2)Démontrer que pour toutes parties X,Y et Z de E, on a : (XY)Z=X(YZ).
3)Démontrer qu'il existe une partie N de E, et une seule, telle que, pour toute partie X de E, XN=NX=X.
4)Démontrer que pour toute partie X de E, il existe une partie X' de E, et une seule telle que XX'=X'X=N.

Merci.

Posté par
Nightmarere : Ensembles 13-03-05 à 12:34

Bonjour

Voici pour le premier :

\begin{tabular}\(Y-X\)\cup\(X-Y\)&=&\(Y\cap\bar{X}\)\cup\(X\cap\bar{Y}\)\\&=&\[\(X\cap\bar{X}\)\cup\(Y\cap\bar{X}\)\]\cup\(X\cap Y\)\\&=&\[\(X\cup Y\)\cap\bar{X}\]\cup\[\(X\cup Y\)\cap\bar{Y}\]\\&=&\(X\cap Y\)\cap\[\bar{X}\cup\bar{Y}\]\\&=&\(X\cup Y\)\cap\(\bar{X\cap Y}\)\\&=&\(X\cup Y\)-\(X\cap B\)\end{tabular}


Jord

Posté par
isisstruissre : Ensembles 13-03-05 à 12:50

(1)
\array{rl$X\Delta Y&=(X-Y)\cup(Y-X)\\ &=(X\cap\bar{Y})\cup(Y\cap\bar{X})\\ &=(X\cup(Y\cap\bar{X}))\cap(\bar{Y}\cup(Y\cap\bar{X}))\\ &=((X\cup Y)\cap(X\cup\bar{X}))\cap((\bar{Y}\cup Y)\cap(\bar{Y}\cup\bar{X}))\\ &=(X\cup Y)\cap(\bar{Y}\cup\bar{X})\\ &=(X\cup Y)\cap(\bar{Y\cap X})\\ &=(X\cup Y)-(X\cap Y)

Il est aussi possible de démontrer cette égalité en prennant un élément a\in X\Delta Y et montrer qu'on a forcément x\in(X\cup Y)-(X\cap Y). Ceci démontre que X\Delta Y\subset(X\cup Y)-(X\cap Y). Puis après l'on procède de même en prenant a\in(X\cup Y)-(X\cap Y) et on montre que x\in X\Delta Y.

(2)
Il faut utiliser le même principe que le (1)

(3) L'existance est facile, il s'agit de l'ensemble vide. Pour l'unicité tu procèdes par l'absurde en supposant qu'il existe un autre. Tu verras rapidement qu'il est aussi vide.

(4) Il s'agit de X lui-même. Pour l'unicité tu fais comme au (3).

Isis

Posté par
isisstruissre : Ensembles 13-03-05 à 12:51

Nightmare est toujours le plus rapide..

Isis


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