Bonjour

Si on appelle

S a combien d'éléments, et quels sont ils ?

Je vois 2 éléments : {0, 1} et {1}.
C'est bien ça ?

Oui

Ce qui appartient à S, ce sont les éléments de S. Ici ses éléments sont eux-mêmes des ensembles
donc {0,1} et {1} sont les ensembles qui appartiennent à S

Maintenant quels sont les ensembles inclus dans S ?

C'est là que je ne comprends plus. Je ne vois pas la différence entre les éléments qui appartiennent à S et les éléments qui sont inclus dans S.

ce qui est inclus dans S ce ne sont pas les éléments de S, ce sont les parties (ou sous-ensembles) de S

Autrement dit, ce sont les ensembles dont tous les éléments sont des éléments de S

(ici comme les éléments de S sont eux-mêmes des ensembles, on essaiera de chercher les ensembles dont tous les éléments sont des ensembles qui appartiennent à S)

Je me lance : les éléments inclus dans S sont {0}, {1} et {0, 1}.

ce ne sont pas des éléments qui sont inclus mais des ensembles

certes ici tu as donné des ensembles mais c'est parce qu'on confond éléments et ensembles ici, tu as bien donné les éléments de S (et aussi quelque chose qui n'est nulle part, le {1})

Quels sont les éléments de S ? Quel autre ensemble contient uniquement des éléments de S ?

rectification : c'est bien le {0} qui vient de nulle part, pas le {1}
En fait {0} est un sous-ensemble de {0,1} mais on s'en fiche, puisqu'on veut les sous-ensembles de S et pas de {0,1} qui est un élément de S, vois-tu la nuance ?

Oui je vois mieux la différence.
L'autre ensemble qui contient des éléments de S est {{0, 1}, {1}}
Ou alors l'ensemble vide (le O barré) ?

l'ensemble vide et S lui-même sont des sous-ensembles de S, oui

mais il y en a deux autres

on cherche des ensembles qui contiennent uniquement des éléments de S, mais pas forcément tous (sinon ça donne bien sûr S)

En tout, il y a 4 ensembles inclus dans S :
l'ensemble vide, {1}, {0, 1} et S lui-même.

{1} et {0,1} ne sont pas inclus dans S, puisque leurs éléments (1 pour {1}, 0 et 1 pour {0,1}) ne sont pas dans S

Alors je ne vois pas du tout quels sont les deux autres ensembles inclu dans S

crée un ensemble dont tous les éléments sont des éléments de S

c'est quoi les éléments de S ?

On a dit au début que S a 2 éléments, qui sont des ensembles : {0, 1} et {1}.

Alors c'est quoi un ensemble dont les éléments sont soit {0,1}, soit {1} ?

Désolé, je ne sais vraiment pas.

S est de la forme {a,b} (un ensemble de cardinal 2)

- quels sont les sous-ensembles de {a,b} ? => tu en as déjà cité deux, il y en a deux autres

- dans le cas de S, que sont a et b ?

Les sous-ensembles de {a, b} sont {a}, {b}, {a,b} et l'ensemble vide.

a et b sont des éléments de S.

Oui mais que doivent valoir a et b pour que S = {a,b} ?

Je ne sais pas et je n'arrive pas à trouver la réponses même en lisant des trucs sur le site. Est-ce que tu pourrais me donner la réponse avec des explications ?

Bon vu que c'est une question particulière on va dire que oui

Les sous-ensembles de S sont S, l'ensemble vide, { {1} }, et { {0,1} }

{ {1} } c'est l'ensemble qui contient {1}, donc l'ensemble qui contient l'ensemble qui contient 1
Ça paraît un peu tiré par les cheveux mais c'est différent de simplement {1}

Avec tes explications, ça me semble maintenant évident !