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Ensembles

Posté par
zeflab123 03-01-24 à 22:54

Bonjour, pourriez-vous me dire si la solution que j'ai apportée au problème ci-dessous est convenable ? En vous remerciant.

Pour tout ensemble de dix naturels écrits à l'aide de deux chiffres (en système décimal), il existe au moins deux sous-ensembles disjoints dont les sommes des éléments sont égales

On note E = \left\{a_{1}, ... , a_{10}\right\}un ensemble d'entiers quelconques. On remarque que le plus petit élément de cet ensemble est 10 et le plus grand 99, ensuite on peut écrire que card(P(E)) -1 = 2^{10} - 1 = 2023, sans compter l'ensemble vide. Toute partie A non-vide de E vérifie : 10 \leq \sum_{x \in A} \ x \leq 91 + ... + 99 = 855, où x désigne un entier quelconque de E. D'après le principe des tiroirs, il existe au moins deux sous-ensembles A_{i} = \left\{A_{i} \subseteq E : A_{i} = \bigcup_{i} a_{i}\right\} et A_{j} = \left\{A_{j} \subseteq E : A_{j} = \bigcup_{j} a_{j}\right\} qui jouent le rôle de tiroir dans lesquels on insère des nombres, si l'on pose X = A_{i}\backslash (A_{i} \cap A_{j}) et Y = A_{j} \backslash\ (A_{i} \cap A_{j}), il y'a plus de chaussettes c'est à dire de sous-ensembles que de nombres égales à la somme de leurs éléments "tiroirs" d'où ce que l'on avance, on peut écrire que \sum_{a_{i} \in X} \ a_{i} = \sum_{a_{j} \in Y} \ a_{j}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Ensembles 04-01-24 à 08:19

Bonjour,
Juste en passant, des remarques sur

Citation :
un ensemble d'entiers quelconques
et
Citation :
On remarque que le plus petit élément de cet ensemble est 10 et le plus grand 99
Les entiers ne sont pas quelconques.
10 et 99 peuvent ne pas être dans E. Ce sont des minorants et majorants.

Posté par
carpediemre : Ensembles 04-01-24 à 13:12

salut

tes ensembles ne sont pas clairs dans la ligne qui commence par "le principe des tiroirs" ...

soit E = \{a_1, a_2, ... ,a_{10}\} (entiers distincts entre 10 et 99)

je note A une partie non vide de E, s(A) la somme des éléments de A et A* le complémentaire de A dans E

on demande donc de montrer que \exists A \subset E : s(A) = s(A^*) = \dfrac {s(E)} 2

or 10 \le \min E \le s(A) \le s(E) = \sum_1^{10} a_i \le 855

et ensuite que fais-tu exactement ?

Posté par
zeflab123re : Ensembles 04-01-24 à 13:31

Bonjour, ce que j'ai peut-être dit maladroitement, c'est que le nombre de sous-ensembles non-vides de E est supérieur au nombre de tiroirs (les sommes distinctes d'un sous-ensemble de E), on peut donc dire qu'il existe deux parties non vides dont la somme est la même, si l'on note A_{i} et A_{j} deux sous-ensembles, et que l'on dit X = A_{i}\backslash(A_{i} \cap A_{j}) et Y = A_{j}\backslash(A_{i} \cap A_{j}) à ce moment ces deux sous-ensembles sont disjoints et on peut dire que la somme des éléments appartenant à ces deux ensembles sont égales

Posté par
carpediemre : Ensembles 04-01-24 à 13:58

c'est plus clair et ça me semble convenir effectivement ...

PS : j'ai fait une erreur en réécrivant : disjoints ne veut pas dire complémentaire !!


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