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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Ensembles et applications

Posté par
Kansell
11-01-21 à 21:55

Bonsoir,

J'étais en plein exercice sur les applications lorsque je suis tombé sur cette question :

Soit f : R ---> R^2 telle que f(x)=(x,x^2)
Montrer qu'il existe une partie A incluse dans R telle que A soit différent de f^-1(f(A))

Je ne vois absolument pas comment faire pour exhiber la partie A qui va me permettre d'y répondre..
Merci à vous.

Posté par
verdurin
re : Ensembles et applications 11-01-21 à 22:03

Bonsoir,
je dirais que f-1 n'est pas vraiment bien définie sur R2.

Posté par
LeHibou
re : Ensembles et applications 11-01-21 à 22:06

Bonsoir,

Procède par ordre :
- quel est f() ?
- quel est f-1(f()) ?
Ça devrait te mettre sur la piste d'une réponse...

Posté par
LeHibou
re : Ensembles et applications 11-01-21 à 22:07

Bonsoir verdurin, je te laisse la piste

Posté par
Kansell
re : Ensembles et applications 11-01-21 à 22:21

f(R) = {y appartenant à R tel qu'il existe un x appartenant à R / y = f(x) }
Si je ne me trompe pas..

Posté par
lafol Moderateur
re : Ensembles et applications 11-01-21 à 22:52

Bonjour
le carré, avec la propriété connue depuis le collège qu'un nombre et son opposé ont le même carré, doivent te mettre sur la voie

Posté par
LeHibou
re : Ensembles et applications 11-01-21 à 23:28

Citation :
f(R) = {y appartenant à R tel qu'il existe un x appartenant à R / y = f(x) }

Attention, tel que tu le décris, f() est un sous-ensemble de , alors que c'est en réalité un sous-ensemble de 2

Posté par
Kansell
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 13:15

Bonjour

Je me suis en effet trompé pour f(R)
Ça serait plutôt :

f(R) = {y appartenant à R^2 tel qu'il existe un x appartenant à R / y = f(x) }

Le souci est que je n'arrive pas à traduire plus précisément f(R), n'étant pas habitué à avoir une fonction de R dans R^2..

Posté par
LeHibou
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 13:32

Si tu poses y = x², quel est le lieu des points (x,y) quand x parcourt ?
Graphiquement, c'est une courbe bien connue

Posté par
Kansell
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 14:23

Merci pour ton aide

J'ai tracé la fonction y = x^2 sur Geogebra
Quand x parcourt R,  les points (x,y)=(x,x^2) sont ceux qui ont le même carré

La courbe serait-elle celle de la valeur absolue ?

Posté par
jeanseb
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 14:41

Bonjour

La courbe serait-elle celle de la valeur absolue ?


Trace la courbe de la valeur absolue ( abs(x) il me semble) dans le repère, et compare les deux courbes.

Posté par
Kansell
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 14:45

Quand je trace la fonction abs(x), je remarque que la fonction carrée et la fonction valeur absolue se rejoignent en trois points : x = -1 ; x = 0 et x = 1

Posté par
jeanseb
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 14:59

Et donc quelle est la réponse à ta question de 14.23 ?

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 15:04

bonjour à tous

verdurin : f-1 traduit ici l'image réciproque d'un ensemble... et pas l'éventuelle application réciproque de f... cela a un sens quelle que soit l'application f

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 19:27

Bonsoir,
J'ai un doute sur l'énoncé :
L'application f est injective.
Dans ce cas trouver une partie A comme demandé me semble problématique.

Posté par
LeHibou
re : Ensembles et applications 12-01-21 à 23:47

La courbe est la parabole y = x².
Faisons simple, soient a et b réels, 0 < a < b
(par exemple, a = 1 et b = 2)
Soit A = [a ; b]
Quel est f(A) ?
Quel est f-1(f(A)) ?
A-t-on f-1(f(A)) = A ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ensembles et applications 13-01-21 à 07:54

Bonjour,
Où est mon erreur dans le raisonnement suivant ?
A étant une partie de , on a f(A) AB
où B est une partie de .
Par exemple, avec A = [a ; b] où 0 < a < b, f(A) est inclus dans [a ; b][a2 ; b2] (l'inclusion est stricte).
f-1(f(A)) est donc inclus dans A.

Posté par
mokassin
re : Ensembles et applications 13-01-21 à 08:39

Bonjour,
Ce que tu dis est correct. La projection sur la première composante est une section (un post-inverse) de f, ce qui assure que f^{1}(f(A))=A, ce qui est garanti aussi par l'injectivité (qui est équivalente à l'existence d'un section).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ensembles et applications 13-01-21 à 08:53

Merci pour la confirmation



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