Salut
Je t'invite à regarder ces deux sujets :

Injection et surjection (caractérisation II)

Injectivité et surjectivité

Salut Zormuche merci. Donc ce que j'ai fait pour la question 1 d'après l'autre topic n'est pas bon?

J'aimerais bien savoir comment on pourrait faire avec la contraposée comme vous l'aviez proposé dans l'autre topic.

Aussi, je ne comprends pas ce qu'est la symétrie des roles?

Je crois que pour les question 2 ce n'est pas exactement les mêmes..

Bonjour Kekeee,

Tu t'es toi aussi fait avoir par l'abus de notation qui consiste à désigner par l'image de la partie de par l'application .
Voir à ce sujet l'explication que je donne ici : ensembles et applications. Ça pourra peut-être te clarifier les idées et te montrer ton erreur dans ta réponse à la question 1.

f(A) est bien l'ensemble des images des éléments de A par f non?

J'ai bien rectifié pour la question 1 en disant que si f(A)=f(A') alors soit x A donc il existe x'A' tel que f(x)=f(x')

Donc x=x'A' par injectivité de f et ainsi AA'

De la même façon on montre que A'A

Et donc que A=A' et on en déduit que est injective

Ma remarque porte sur ton erreur ici :

Kekeee @ 11-11-2021 à 01:44

=>Supposons f injective.

Soit A, A' P(E) tels que:

(A)=(A')

Donc f(A)=f(A') par définition de

Comme f est injective, A=A'

Pour la réciproque:
Supposons injective

Soit x, x' E tels que f(x)=f(x')

Donc {f(x)}={f(x')}

Et f({x})=f({x'})

Donc ({x})=({x'})

Donc {x}={x'} donc x=x'

Donc f est injective

GBZM D'accord,comme ça c'est mieux?

J'ai l'impression que tu n'as pas compris que tu as fait une erreur dans la démonstration de " injective entraîne injective".

Après pour la question 2.
Supposons f injective

Soit AE

Mq f^-1f(A))=A

Soit x E

xf^-1f(A))f(x)f(A)xA

Ici l'injectivité assure l'unicité de x.

Donc par équivalence, f^-1f(A))=A

Donc on peut en déduire que est surjective.
Car toute partie de E a un antécédent inclu dans F par .

Je ne suis pas sûr.

Pour la 3, je bloque

GBZM

Kekeee @ 11-11-2021 à 10:28

J'ai bien rectifié pour la question 1 en disant que si f(A)=f(A') alors soit x A donc il existe x'A' tel que f(x)=f(x')

Donc x=x'A' par injectivité de f et ainsi AA'

De la même façon on montre que A'A

Et donc que A=A' et on en déduit que est injective

OK, c'est un argument correct pour montrer que injective entraîne injective.

Ce passage-ci ne me convient pas

Kekeee @ 11-11-2021 à 10:38

Soit x E

xf^-1f(A))f(x)f(A)xA

Ici l'injectivité assure l'unicité de x.

D'accord pour l'injectivité de f et , la réciproque est bonne aussi?

En fait, dans la deuxième équivalence, f(x) appartient à l'ensemble des images de A par f alors x appartient forcément à A non? Et réciproquement aussi.

Peut être faut il utiliser l'injectivité ici?

Je ne sais pas si ma remarque est utile mais c'est pour dire si un tel f(x) ne peut qu'avoir x comme antécédents par injectivité de f et donc qu'il appartient à A.

Non?

D'accord GBZM

Alors si f(x) f(A)
il existe x' A tel que:
f(x)=f(x') et comme f est injective: x'=x A

Et comme on peut résoudre par équivalence on a bien f^-1(f(A))=A

Pour ce qui est de la déduction sur , dire qu'elle est surjective dans ce cas ne me semble pas absurde mais je ne vois pas bien comment l'expliquer.

Tu as montré que pour toute partie de , ).
Tu ne vois vraiment pas comment expliquer que est surjective sur ?

Ah d'accord, quelque soit A inclue dans E, il existe (A)F tel que A=((A)) donc est surjective

Je bloque pour la 3.

Par double inclusion.

D'abord: soit x f(f^-1(B))

Alors il existe x f^-1(B) tq: f(x)=y

Or comme x f^-1, f(x)B donc yB

Donc f(f^-1(B))B

Je me donne: soit y B donc {y}B
Donc ({x})=f^-1({y}) f^-1(B)

Soit x f^-1({y}) donc f(x){y} donc f(x)=y

Donc {y}f(f^-1(B))

yf(f^-1(B))

Très sincèrement je pense que ce n'est pas juste car je n'ai pas utiliser

Coquille lire: « soit y f(f^-1(B))