Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Ensembles: Partition de l'ensemble N

Posté par
DNAidit 12-09-21 à 19:06

Bonjour,

J'ai du mal à déborder la question suivante : pour tout $i\in\{0,1,2\}$ , posons $A_i = \{3j+1 | j\in\mathbb{N}\}$ , démontrer que $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ est une partition de $\mathbb{N}$ .

Par instinct, j'ai essayé de le démontrer par la définition : $A_0\cup A_1\cup A_2=\mathbb{N}$ et $A_0\cap A_1\cap A_2=\emptyset$ . Premièrement, $A_0\cup A_1\cup A_2\subset\mathbb{N}$ est trivial donc il faut juste démontrer $A_0\cup A_1\cup A_2\supset\mathbb{N}$ . J'ai eu l'idée de distinguer les entiers pairs et impairs et prouver que tous les deux sont dans $A_0\cup A_1\cup A_2$ mais je ne pense pas que c'est très rigoureux. Ensuite pour prouver que $A_0\cap A_1\cap A_2=\emptyset$ , je n'ai aucune idée.

J'espère que j'aurai des conseils et des astuces pour résoudre le problème.

Merci

Posté par re : Ensembles: Partition de l'ensemble N 12-09-21 à 19:29

Bonjour.

La question est un peu bizarre car $A_0=A_1=A_2$ . Ce serait pas plutôt $A_i=\{3j+i\mid j\in\N\}$ ?

D'abord, la condition $A_0\cap A_1\cap A_2=\emptyset$ est insuffisante. Il faut $A_0\cap A_1=A_1\cap A_2=A_2\cap A_0=\emptyset$ , ce qui n'est pas pareil.

Enfin, pour t'aider, quel peut être le reste de la division euclidienne d'un nombre par 3 ? Ou dit autrement, à nombre peut être congru à combien modulo 3 ?

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