Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Ensembles supplémentaires en cas de fonctions

Posté par
KMomo 11-11-22 à 12:18

Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre la correction que mon professeur a donné sur ce petit exercice de test :

Soit G = {f , g ,h} la famille de vecteurs de l'EV F(R) définis par pour tout x :
f (x) = 2^x
g (x) = 2^-x
h(x) = 2^x+1

1) Déterminer une base de E = Vect(G )
Une base de Vect(G) est {f,g} car h = 2f et f et g sont libres.
Vect(G) = Vect(f,g)

2) E et R[X] sont-ils supplémentaires dans F(R) ?

La correction donné par le professeur est la suivante mais il ne donne pas trop de détails :
E+R[X] ̸= F(R) car, par exemple, 2^2x définit un vecteur de F(R) qui n'est pas dans E+R[X].
(il suffit de constater qu'en divisant tout vecteur de E+R[X] par 2^2x, la limite en +∞ est nulle, donc différe de 1.

Je sais que pour montrer que E et R[X] sont-ils supplémentaires dans F(R) il faudrait que tout element de F(R) s'écrivent de facon unique en fonction de d'un element de E et d'un element de R[X] mais j'ai plusieurs questions :

- Pourquoi 2^2x appartient à F(R) ?
- A quoi sert l'espace R[X] ici ? (s'agit-il bien de l'espace des polynomes réels de dimension 1) ?
- Quels sont les vecteurs dans l'espace E + R[X] ? Il y a bien sure les vecteurs f et g qui sont dans E mais quels sont les vecteurs dans R[X] ?
- Pourquoi montrer qu'en divisant par un element de F(R) (ici 2^2x) tout vecteur l'espace E + R[X] et obtenant une limite non nulle on demontre que E + R[X] n'est pas supplementaire ?

J'ai bien compris que le professeur a directement pris un contre exemple pour montrer que c'est faux mais peut on appliquer la methode "classique" (celle que j'utilise pour les vecteurs avec coordonnées) ?
C'est a dire montrer que l'intersection de E et R[X] est un vecteur nul et ensuite que dim(E) + dim(R[X]) = dim(F(R)) et si je trouve que les conditions ne sont pas respectées alors les espaces ne sont pas supplementaires ?

Merci pour tout aide.

Posté par re : Ensembles supplémentaires en cas de fonctions 11-11-22 à 14:46

salut
pour répondre à ta première question, tu peux me dire ce qu'est l'ensemble $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ ?

l'espace $\mathbb{R}[X]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients réels (de n'importe quel degré), donc sa dimension n'est pas 1 mais est en réalité infinie

du coup ton ensemble $\text{E} + \mathbb{R}[X]$ , en associant $\mathbb{R}[X]$ à l'ensemble des fonctions polynomiales, désigne l'ensemble des fonctions qui peuvent s'écrire comme la somme d'une fonction de E et d'une fonction polynomiale à coefficients réels

du coup ton prof prend la fonction $2^{2x}$ (donc ce vecteur appartient bien à $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ ) et il veut montrer que ce vecteur n'appartient pas à la somme
si on suppose par l'absurde qu'il appartient à cette somme, cela veut dire qu'il existe $u \in \text{E}$ et $v \in \mathbb{R}[X]$ tels que $2^{2x} = u(x) + v(x)$

en utilisant la première question, tu peux dire qu'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u(x) = \lambda f(x) + \mu g(x)$ , et si je remplace dans ce qui précède: $2^{2x} = \lambda 2^x + \mu 2^{-x} + v(x)$ , donc en divisant on obtient $1 = \lambda 2^{-x} + \mu 2^{-3x} + v(x) \times 2^{-2x}$

c'est là qu'entre en jeu la limite: si tu fais tendre $x$ vers $+\infty$ , le membre de gauche reste égal à 1, alors que celui de droite tend vers 0 (par croissances comparées pour le dernier terme puisque je rappelle que $v$ est une fonction polynomiale)), donc tu obtiens à la limite l'égalité $1 = 0$ , soit une contradiction

cela veut dire que ce que tu as supposé au départ était faux, donc tu as trouvé un vecteur $2^{2x}$ n'appartenant pas à la somme, donc on n'a pas l'égalité $\text{E} + \mathbb{R}[X] = \mathcal{F}(\mathbb{R})$ puisqu'on n'a pas l'inclusion de droite à gauche, et donc forcément E et $\mathbb{R}[X]$ ne sont pas en somme directe dans $\mathcal{F}(\mathbb{R})$

en fait ton prof n'a juste pas détaillé autant, mais ce qu'il a fait revient à ça
je ne sais pas si je suis très clair alors n'hésite pas à me faire part de tes questions mais j'espère au moins que ça t'a éclairci un peu

Posté par re : Ensembles supplémentaires en cas de fonctions 11-11-22 à 16:22

c'est excellent merci ! enfaite tout le problème d'incomprehesion posait sur la toute premiere question que j'avais posé.

Je viens juste de me rendre compte que $\mathcal{F}(\mathbb{R})$
c'est l'ensemble des fonctions définies sur R ayant valeur dans R.

En tout cas nickel l'explication

Posté par re : Ensembles supplémentaires en cas de fonctions 11-11-22 à 16:41

oui, c'est ça
content que tout soit beaucoup plus clair pour toi maintenant, je n'étais pas sûr de où était exactement ton incompréhension donc j'ai tout réexpliqué

merci beaucoup pour le compliment haha, j'espère que cette explication servira

Posté par re : Ensembles supplémentaires en cas de fonctions 11-11-22 à 17:16

salut

KMomo @ 11-11-2022 à 12:18

J'ai bien compris que le professeur a directement pris un contre exemple pour montrer que c'est faux mais peut on appliquer la methode "classique" (celle que j'utilise pour les vecteurs avec coordonnées) ?
C'est a dire montrer que l'intersection de E et R[X] est un vecteur nul et ensuite que dim(E) + dim(R[X]) = dim(F(R)) et si je trouve que les conditions ne sont pas respectées alors les espaces ne sont pas supplementaires ?

n'oublie pas que tu travailles avec des espaces de dimension infinie !!

certes la dimension de E = vec (G) est 2 mais la dimension de R[x] et donc de F(R) est infinie

amuse-toi déjà à montrer que l'intersection est le vecteur nul !!

il faudrait donc montrer que $\forall x \in \R : p2^x + q2^{-x} + \sum_0^{+\infty} a_nx^n = 0 \Longrightarrow p = q = a_n = 0 \forall n \in \N$

bon courage !!

la famille (x^n) étant une base de R[x]

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