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Niveau Maths sup
entiers
Posté par pacaf (invité)
Bonjour g un petit problème avec les entiers :
Un code est constitué de 4 nombres ou poids d1, d2, d3 et d4, chacun étant non nul et entier appartenant à l'intervalle [-9, 9]. Ce code doit être choisi de façon que tout chiffre de 0 à 9 puisse être
représenté par une somme 
ridi(i variant de 1 à 4), les coefficients r, étant des chiffres binaires 0 ou 1.
Un code est dit univoque si, et seulement si. tout chiffre de 0 à 9 a une représentation unique.
1°) On suppose 0 < d1
d2d3d4 (ce code est dit à poids tous positifs).
a) Démontrer que d1=1 et que d2= 1 ou 2.
b) Prouver qu'il existe (seulement !) 17 codes à poids tous positifs et, naturellement, les déterminer.
c) Vérifier que, parmi ces codes, le seul qui soit univoque est le code 1248.
2°) On suppose maintenant que certains des d, peuvent être négatifs. (Par exemple, le code 35(-6)7, il y est représenté par 0011 car -6+7=1)
a) Donner la représentation dans le code 35(-6)7 des nombres 0 à 9.
b) Montrer que pour un code à certains poids négatifs, deux poids au moins sont positifs.
c) Montrer que le code d1d2d3d4 n'est pas univoque si, et seulement si, il existe un quadruplet
(p1p2p3p4) de quatre nombres non tous nuls de {-1,0,1} avec pidi (i variant de 1 à 4)
merci pour vos réponses
Posté par biondo (invité)re : entiers
Bsoir.
1/a/
d1 > 0, donc d1
1
on sait que 1 doit pouvoir etre represente par une somme ridi
1 = ridi rid1
(d1 etant le plus petit des di)
L'un au moins des ri doit etre non nul, car sinon la representation qu'on a choisie pour 1 serait nulle (et elle vaut 1..). Donc ri 1, et au final on a
1 d1
donc d1=1 necessairement.
A paritr de la, d2 etant superieur ou egal a 1:
on sait que 2 doit admettre une representation dans le code:
2 = ridi (i varie de 1 a 4)
2 = r1 + ridi (i varie de 2 a 4)
Deux cas:
r1=0, alors comme d2 est le plus petit des di, 2 rid2 (la somme est toujours de 2 a 4)
et donc comme l'un au moins des ri doit etre non nul (sinon la somme serait nulle), on a par consequent 2 d2, et d2 vaut 1 ou 2.
r1 = 1, alors comme d2 est le plus petit des di, 2-r1 = 1 rid2 bla bla bla (tjs pareil) donc 1 d2 et d2 vaut 1
Au final, d2 vaut bien 1 ou 2.
1/b/
Pfffff. La flemme.
Comme de toute facon on te les demande tous, il ne te reste qu'examiner les cas de code, sachant que d1 =1 et d2 =1 ou 2:
1 1 1 1 ...(pas bon)
1 1 1 2 ...
On doit pouvoir en eliminer certains d'emblee, mais il se fait tard.
la suite doit rouler, une fosi que tu as les codes.
A+
biondo