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Entiers binaires premiers

Posté par
dpi
08-10-19 à 11:22

Bonjour à tous ,

Un petit calculatoire:

On prend un entier  n dans   puis son équivalent binaire  b
On observe b/n
n=2  , b=10   b/n= 5 qui est premier
n=10 , b=1010  , b/n = 101 qui est premier
Ensuite ,
*les entiers deviennent rares  
*et se terminent encore plus rarement  par  5

Trouverez-vous un autre premier ?
Sinon pourquoi ?

Posté par
LittleFox
re : Entiers binaires premiers 08-10-19 à 15:36


Soit a_i \in \{0,1\} les digits de n en binaire. Et p le nombre premier.

On a \sum {a_i 10^i} = p \sum{a_i 2^i} \Rightarrow  \sum {a_i 2^i5^i}  = \sum{a_i 2^ip}

En prenant cette dernière égalité modulo 2^k on obtient les égalités suivantes:

a_0                               = p(a_0)                      ( 2)
a_0+10a_1                         = p(a_0+2a_1)                 ( 4)
a_0+10a_1+100a_2                  = p(a_0+2a_1+4a_2)            ( 8)
a_0+10a_1+100a_2+1000a_3          = p(a_0+2a_1+4a_2+8a_3)       (16)
a_0+10a_1+100a_2+1000a_3+10000a_4 = p(a_0+2a_1+4a_2+8a_3+16a_4) (32)
...

A partir de ces égalités peut-on construire n et p?

Posté par
LittleFox
re : Entiers binaires premiers 08-10-19 à 16:00


J'en ai trouvé deux de plus :

n       p               b
2       5               10
10      101             1010
2510    39884861        100111001110
1010000 11000109010001  11110110100101010000

Pas d'autre solution pour n < 17*107

Posté par
dpi
re : Entiers binaires premiers 08-10-19 à 16:49

Comme d'habitude
J'avais 2510 mais pas l'autre.

Comme il y en a au moins 4 ,on ne peut pas dire qu'il n'y en aura pas d'autres *,mais
il va falloir aller loin .....

*sauf démonstration  sur les binaires divisibles...



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