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Entrainement aux oraux
Bonjour 
Pour qu'on s'entraine tous un peu aux oraux, je vais poser sur un topic 5 questions à répondre en détails ... On peut alors discuter après les solutions et s'approfondir encore plus !
1)
2) Soit A une matrice de
Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle.
3) Soit E un K-ev de dimension n et f un endomorphisme nilpotent sur E tel que
et
4) Soit A
La suite
5) Soit
Vous aimez l'idée?
Bonne réflexion
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)
Sinon une petite autre question ! bonsoir,
4)une autre idée
soit u de Rntel que fn-1(u)soit non nul
dans la base (u,f(u),f²(u)....fn-1(u)) A(ai,j) la matrice de f est triangulaire inférieure stricte avec la sous diagonale formée uniquement de 1 ak+1,k=1 pour k compris entre 1 et n-1 les autres termes étant nuls
dans R5
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 =A
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
en ecrivant qu'une matrice M commute avec A on trouve facilement que M est une matrice diagonale inférieure
ses éléments diagonaux étant tous égaux ainsi que les éléments de chacune des n-1 sous diagonales ce qui veut dire que M est combinaison linéaire de I,A,A²,....An-1.
sinon ta méthode est très claire, brève et sympa ! Bonsoir 
Juste au passage, ta question 2) monrow était exactement une question de l'épreuve de Mathématiques MPI 1 de l'ENS cette année.
:D
A bientôt
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