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Niveau quatrième
entre deux aires
Posté par maud
bonjour et merci de bien vouloir me répondre!
ABC est un triangle tel que AB = 2.5 cm et AC = 7.5 cm
la bissectrice de l'angle BAC coupe le coté (BC) en I
On désigne par A l'aire de AIB et par A' l'aire de AIC
Démontrer que A' = 3A
merci de me répondre
Bonjour
Par le théor. de la bissectrice on a AC/AB = CI/IB => 3 = CI/IB => CI = 3IB
si H est le pied de la hauteur issue de A on a
A'= aire AIC = CI.AH/2 et A = aire AIB = IB.AH/2 =>
A' = 3A
@+
bonjour Maud
l'aire d'un triangle est égale à base x hauteur / 2
deux triangles qui ont une hauteur égale ont donc leurs aires proportionnelles à leurs bases
c'est le cas des triangles AIB et AIC
soit [IH] la hauteur du triangle AIB sur son côté [AB] et [IH'] la hauteur du triangle AIc sur son côté AC; [IH] et [IH'] sont égaux (tout point de la bissectrice est à même distance des côtés de l'angle)
donc A'/A = AC/AB = 3
post-scriptum
soit [AD] la hauteur du triangle ABc sur son côté ABC
les triangles ABI et ACI ont une hauteur commune : AD; donc A'/A = AI/IB = AC/AB; AI/AB = IB/AB
la bissectrice d'un angle d'un triangle divise le côté opposé en deux segments proportionnels aux côtés adjacenrs