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Épreuve de Bernoulli

Posté par Profil Ramanujan 25-01-19 à 01:18

Bonsoir,

J'ai toujours été nul en combinatoire. Je comprends pas cet exercice.

On note a_{n,p} le nombre de manières de réaliser p succès dans une succession de n épreuves de Bernoulli.

Montrer que : \forall n \geq 1 , \forall p \geq 1 : a_{n,p} = a_{n-1,p}+a_{n-1,p-1}

Soit n \geq 2 et p \geq 1
Il y a 2 manière d'obtenir p succès :

Je comprends pas comment on trouve le nombre de possibilités à partir de la phrase écrite :

Obtenir p succès dans les n-1 premières épreuves et un échec à la n ième épreuve cela offre a_{n-1,p} possibilités.

Obtenir p-1 succès dans les n-1 premières épreuves et un succès à la n ième épreuve cela offre a_{n-1,p-1} possibilités.

Puis pourquoi la correction prend n \geq 2 et pas n \geq 1 ?

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 04:22

Salut

Ben en gros, pour avoir p succès parmi n, tu en avais forcément p-1 ou p au n-ième essai, n'est-ce pas ? (si tu en avais au plus p-2, ou au moins p+1, tu ne peux pas avoir p succès au nième essai)

Si tu en avais p-1, alors tu as dû obtenir un succès au nième, pour avoir les p succès au nième
si tu en avais p, alors tu as dû obtenir un échec pour encore avoir p succès au nième essai

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 04:22

Quant à la correction, elle généralise la preuve à n=2 car pour n=1 ce n'est pas pertinent de parler de n-1ième essai, mais de toute façons le cas n=1 peut se démontrer indépendamment

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 09:23

Mais si on a p succès dans les n-1 premières épreuves et un échec à la n ième épreuve comment on trouve qu'il y a  a_{n-1,p} possibilités ?

J'ai pas compris comment on trouve le nombre de possibilités

Posté par
lionel52re : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 10:11

Il y a a_{n-1,p} possibilités pour avoir p succès pendant les n-1 premières épreuves. Après pour la n ème épreuve le résultat est fixé, c'est un échec.

Donc le nombre de possibilités pour avoir p succès dans les n-1 premières épreuves et un échec pour la n-ème reste a_{n-1,p}

Posté par
matheuxmatoure : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 10:27

raisonnement par disjonction de cas :

soit la dernière épreuve est un succès (il y a donc eu p-1 succès dans les n-1 épreuves précédentes

soit la dernière épreuve est un échec (il y a donc eu p succès dans les n-1 épreuves précédentes)

Posté par
flightre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 10:40

salut

la demonstration demandée ressemble étrangement à la formule du triangle de pascal
C(n,p) = C(n-1,p)+C(n-1,p-1) :D

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 13:40

@Lionel
@Matheux

Merci j'ai compris

@Flight
Je suis dans un chapitre sur le calcul algébrique, la démo du triangle de Pascal n'est pas écrite dans mon livre, il est écrit "évident".
J'ai fait le calcul avec les factoriels et je l'ai démontré.
Mais c'est un exercice pour démontrer que le coefficient binomial correspond au nombre de chemins réalisant p succès dans l'arbre modélisant une succession de n épreuve de Bernoulli.

Pour n=1 j'ai pas compris comment calculer a_{1,p}
Réaliser p succès en 1 épreuve ça n'a aucun sens non ?

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 13:43

Il est évident que a_{0,p}=0

Mais je n'arrive pas à calculer a_{0,0} le nombre de possibilités de réaliser 0 succès dans 0 épreuve ?

Posté par
lafol Moderateurre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 13:43

Bonjour
ça n'a de sens que si p = 0 ou 1
donc a_{1,p} = 0 pour tout p autre que 0 ou 1

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 13:55

Oui mais je dois montrer que la relation est vraie pour n=1 et que :

\forall p \geq 1 : a_{1,p} = a_{0,p}+a_{0,p-1}

Là je vois pas.

Posté par
lafol Moderateurre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 14:04

réaliser 0 succès en 0 épreuve : une unique possibilité
réaliser 0 succès en une épreuve : une unique possibilité
réaliser 1 succès en une épreuve : une unique possibilité

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 16:49

Je comprends pas pourquoi réaliser 0 succès en 0 épreuve c'est une possibilité. J'aurais dit 0.

Dans mon livre il est écrit que :

a_{0,0}=1 et \forall p \geq 1 : a_{0,p}=0

Le a_{0,p} est logique mais le a_{0,0}=1 je trouve pas

Puis a_{1,p} j'ai pas compris comment le calculer, c'est pas expliqué dans mon livre.

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 16:58

Si tu fais 0 essais tu auras forcément 0 succès, et cela d'une seule façon

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 17:21

Ah merci Zormuche et du coup j'ai :

Si p=1 : a_{1,1}=1, a_{0,1}=0 et a_{0,0}=1

On a bien : 1=0+1

Si p \geq 2 : a_{1,p}=0, a_{0,p}=0 et a_{0,p-1}=0

On a bien : 0=0+0

Dans tous les cas pour n=1 :

\forall p \geq 1 : a_{1,p} = a_{0,p} + a_{0,p-1}

C'est correct ?

Posté par
lafol Moderateurre : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 18:49

Tu as réellement besoin qu'on te confirme que 1=0+1 et que 0=0+0 ?

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 25-01-19 à 19:14

juste au cas où

Épreuve de Bernoulli

comme ça on lève le doute

Posté par
lafol Moderateurre : Épreuve de Bernoulli 26-01-19 à 00:07

tu vas lui donner des angoisses ! il va penser que la réponse à 0+0 est 1 ! ans, c'est pour answer, chacun sait ça

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 26-01-19 à 05:08

oups

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 26-01-19 à 12:29



Après par récurrence j'ai démontré  (en utilisant la relation de Pascal) que :

Pour n \in \N H_n : " \forall p \in \N, a_{n,p} = \binom{ n}{p } "

Il faut en déduire que : \forall (p,n) \in \N^2 : a_{n,p} = \binom{ n}{p }  

C'est évident non ?

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 26-01-19 à 19:04

J'arrive pas à comprendre, dans la récurrence, l'auteur écrit :

Pour n \in \N considérons la propriété H_n : " \forall p \in \N : a_{n,p} = \binom{n}{p} "

Hérédité : soit n \in \N^* Supposons H_{n-1} et montrons H_n
Nous souhaitons montrer : \forall p \in [|0,n|] : a_{n,p} =   \binom{n}{p}

Je ne comprends pas, car il fallait montrer que :

\forall p \in \N : a_{n,p} =   \binom{n}{p}

Je comprends pas pourquoi on a montré \forall p \in \N en prenant p \in [|0,n|]

Posté par
verdurinre : Épreuve de Bernoulli 26-01-19 à 19:30

Bonsoir,
la lettre p ne figure pas dans l'énoncé de la propriété H_n.

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 27-01-19 à 06:38

Je n'ai pas compris.

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 27-01-19 à 22:20

Ramanujan @ 26-01-2019 à 19:04

J'arrive pas à comprendre, dans la récurrence, l'auteur écrit :

Pour n \in \N considérons la propriété H_n : " \forall p \in \N : a_{n,p} = \binom{n}{p} "

Hérédité : soit n \in \N^* Supposons H_{n-1} et montrons H_n
Nous souhaitons montrer : \forall p \in [|0,n|] : a_{n,p} =   \binom{n}{p}

Je ne comprends pas, car il fallait montrer que :

\forall p \in \N : a_{n,p} =   \binom{n}{p}

Je comprends pas pourquoi on a montré \forall p \in \N en prenant p \in [|0,n|]


Quelqu'un pourrait m'expliquer SVP ? Je n'ai pas compris le principe de cette récurrence

On a fait une récurrence sur n et après au lieu de prendre \forall p \in \N on prend un p \in [|0,n-1|] j'ai rien compris à la logique.

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 27-01-19 à 22:34

Bonsoir

Si pour tout p, le nombre de façon d'obtenir p succès parmi n-1 essais est :a_{n-1,p}=\binom{n-1}{p}=\dfrac{(n-1)!}{(n-1-p)!(p)!}


Alors "le nombre de façons d'obtenir p succès en n essais" vaut, d'après ton premier post,  a_{n-1,p}+a_{n-1,p-1}
On applique l'hypothèse de récurrence à ces deux termes, et on montre que c'est égal à  \binom{n}{p}

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 27-01-19 à 23:14

Ce n'est pas le calcul qui me pose problème il suffit d'appliquer la formule de Pascal c'est direct. Même pas besoin d'utiliser les factoriels.

Mais pourquoi l'auteur prend \forall p \in [|0,n-1|] et montre \forall p \in [|0,n|] alors que dans H_n c'est \forall p \in \N ?

Donc le p ne devrait pas dépendre de n

Posté par
Zormuchere : Épreuve de Bernoulli 27-01-19 à 23:36

Parce que dans ton premier post la relation ne marche que si p<=n

Le cas p>n étant trivial

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 02:58

Ah ce n'est pas une récurrence forte du coup ?

Comme \binom{n}{p} =\dfrac{n(n-1) \cdots (n- (p-1) )}{ p(p-1) \cdots 1 }  

Donc si p > n le binôme s'annule pour p=n+1

Et a_{n,p} = 0 pour p>n car on ne peut pas avoir plus de succès que d'épreuve.

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 18:35

C'est une récurrence forte le \forall p \in [|0,n-1|] : a_{n,p} = \binom{n}{p} ?

Posté par
verdurinre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 19:15

Bonsoir,
on a vu que, quelque soit l'entier naturel n

    p>n\text{ ou } p<0\implies a_{n,p}=\binom{n}{p}=0.

On fait une hypothèse qui de dépend que de n

    H(n) : \forall p \in \Z\quad a_{n,p}=\binom{n}{p}

Cette hypothèse ne dépend évidement pas de p puisque qu'elle est faite quelque soit p.
Cependant on sait déjà qu'elle est vraie si p\not\in [|0;n|]. Il suffit donc de la faire pour p\in [|0;n|].

Ensuite on fait une récurrence simple sur n.

On part de a_{0,0}=\binom00=1 et on vérifie que H(1) est vraie.
Puis on montre que H(n)\implies H(n+1)

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 21:52

Merci Verdurin !

Du coup su je considère H(n-1) vraie au rang n fixé j'ai :

Comme : \forall p \geq 1 : a_{n,p} = a_{n-1,p}+a_{n-1,p-1}

D'après l'hypothèse de récurrence : \forall p \in [|0,n-1|]  : a_{n-1,p} = \binom{p}{n-1}

Et :  a_{n-1,p-1} =  \binom{p-1}{n-1}

Donc : \forall p \in [|0,n-1|] : a_{n,p} = \binom{p}{n-1} + \binom{p-1}{n-1}  

D'après la relation de Pascal :

\forall p \in [|0,n-1|] : a_{n,p} = \binom{p}{n}

Et ici il faut montrer que c'est aussi vrai pour p=n ?

Posté par
verdurinre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 22:20

Oui.
Mais c'est presque évident : a_{n,n}= 1 de façon évidente.

Sinon tu écris les coefficients binomiaux dans le mauvais sens.

J'imagine que tu appris avec \text{C}_n^p.

Or \text{C}_n^p=\binom{n}{p}

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 22:29

Oui d'après les propriétés de mon cours j'ai :

\forall n \in \N :  \binom{0}{n} = \binom{n}{n} = 1

Ce qui se retrouve facilement avec la formule avec les factoriels.

Posté par
verdurinre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 22:35

On peut aussi écrire :
a_{n,n}=a_{n-1,n-1}+a_{n-1,n}=1+0

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 23:17

AH oui bien bien

Après c'est pas pertinent de prendre p \in [|0,n |] non ?

Vu que pour n fixé on a plutôt montré :

\forall p \geq 1 : a_{n,p} = a_{n-1,p}+a_{n-1,p-1}

Cette relation n'étant pas valable pour p=0

Mais on peut aussi vérifier indépendamment que : a_{n,0} =  1 = \binom{n}{0}=1

Posté par
verdurinre : Épreuve de Bernoulli 28-01-19 à 23:26

La relation
a_{n,p} = a_{n-1,p}+a_{n-1,p-1} est vraie pour p=0.

En effet a_{k,-1}=0 pour tout k entier naturel : il n'y a aucune façon d'avoir -1 succès en k tentatives. On en a au moins zéro.

Posté par Profil Ramanujanre : Épreuve de Bernoulli 29-01-19 à 00:06

Ah d'accord merci.


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