1) Pour trouver l'équation(F) satisfaite par z, on écrit z en fonbction de y:
y=z+1 donc y'=z' (E) devient (F):z'+z=x
2)Résolution de F:
Si dans ton devoir tu as une équation de ce type forçément tu auras des indications car c du hors-programme:
il faut chercher une solution particulière du type
g(x)=ax+b:
g'(x)=a
g vérifie (F) donc:g'+g=x d'ou....a=1 et b=-1
g(x)=x-1
z'+z=x
g'+g=x  en soustrayant(astuce): (z-g)'+(z-g)=0
Y'=-Y  donc Y=exp(-x)+cste donc z-g=exp(-x)+cste
z=exp(-x)+x-1+cste.
Pour (E):
y=z+1 donc y=exp(-x)+x-1+1+cste
y=exp(-x)+x+cste.

Aïe:
un petit rectificatif pour:Y'=-Y:Y=C*exp(-x)
N'oublie pas de rerctifier toute la suite.

Poser z = y-1
y = z+1
y' = z'

(E) devient alors:
z'+z+1 = x+1
z'+z = x  (F)
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Solutions de l'équation F avec le sevond membre = 0.
z'+z = 0

z = K.e^-x  'Avec K une constante réelle.à.
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Solution particulière de l'équation acex secon membre.

Elle sera de la forme z = Ax + B
z' = A

A + Ax + B = x
En identifiant -->
A+B = 0
A = 1

Soit B = -1
--> une solution particulière est : z = x - 1
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Solutions générale de (F):
z = x - 1 + K.e^-x
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et comme y = z+1, on trouvent les solutions générales de (E):

y = x - 1 + K.e^-x + 1

y = x + K.e^-x

Avec K une constante réelle.
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Sauf distraction.