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equa diff 2nd ordre
voila l'équa diff que j'ai à résoudre
y''+6y'+9y=(x+1)e-3x avec y(0)=0 et y'(0)=1
de la je toruve la solution de l'équation caractéristique qui est (Ax+B)e-3x
ensuite je pose y=ze-3x
je fé y',y'',je remplace tout cela dans mon équation et à la fin je trouve y''=x+1
de là jen déduis y=(1/6)x3+1/2 x2 + kx+k'
lorsque je fais ma solution générale je me retrouve avec
y=[(1/6)x3+1/2 x2 + kx+k']e-3x+(Ax+B)e-3x
j'ai donc 4 inconnus k,k',A et B!!mais je peux faire que 2 équations d'après les données du début!
peut-on dire que kxe-3x+Axe-3x=Cxe-3x ac C=k+A (de même avec k' et B)??vais je bien trouver un résultat cohérent??
merci d'avance,bonne soirée
trouvez vous comme moi à la fin
y=ee-3x(1/6x3+1/2x2+x)
y''+6y'+9y=(x+1)e^(-3x)
Solutions de l'équation avec second membre = 0.
y''+6y'+9y=0
p² + 6p + 9 = 0
(p + 3)² = 0
Racine double p = -3.
y = A.e^(-3x) + Bx.e^(-3x)
----
Une solution particulière sera de la forme y=z.e^(-3x)
y' = (z'-3z)e^(-3x)
y'' = (z''.z' - 3z'-3z'+9z).e^(-3x)
(z''.z' - 3z'-3z'+9z) + 6.(z'-3z) + 9z = (x+1)
z''.z' - 3z'-3z'+9z + 6z'-18z + 9z = (x+1)
z''.z' = (x+1)
Poser t = z'
t' = z''.z'
t' = x+1
t = (x²/2 + x)
z' = (x²/2 + x)
z = x³/6 + x²/2 (ici, pas besoin de constantes car on cherche UNE solution particulière, n'importe laquelle convient).
--> solution particulière de l'équation avec second membre: y=(x³/6 + x²/2).e^(-3x)
-----
Solutions générales:
y = A.e^(-3x) + Bx.e^(-3x) + (x³/6 + x²/2).e^(-3x)
y = (x³/6 + x²/2 + Bx + A).e^(-3x)
-----
Détermination des constantes par les conditions initiales:
y(0) = A = 0
y = (x³/6 + x²/2 + Bx).e^(-3x)
y' = (x²/2 + x + B - x³/2 - 3x²/2 - 3Bx).e^(-3x)
y'(0) = B = 1
-->
y = (x³/6 + x²/2 + x).e^(-3x)
-----
Sauf distraction. Vérifie. 
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