Bonjour

C'est une équation linéaire à coefficients non constants. On résout d'abord l'équation homogène associée, puis on cherche une solution particulière. Pour ce faire, tu seras obligé de prendre , donc résoudre séparément sur et sur , puis voir comment on peut faire on recollement en 0.

Bonjour,

Tu penses avoir affaire à un problème de Cauchy ?

Bonjour,

  
Qu'il suffit d'intégrer.

Désolé,  j'ai appuyé sur Poster trop tôt.

Bonsoir,

Ne peut-on pas écrire?

  . . .


Alain

@interpol

Tu veux plutôt écrire :

S y : est dérivable et  (exp - 1)y' + y. exp = 1   alors   x   (exp(x) - 1)y(x) - x  est  identiquement  nulle  puisque  de dérivée nulle  et nulle en 0 .
On a donc y(x) = x/(exp(x) - 1) si x 0 et y étant continue en 0 , y(0) = 1 ( puisque x/(exp(x) - 1)   1 quand x tend vers 0 )

Inversement soit f : telle que f(0) = 1 et  f(x) = x/(exp(x) - 1) si x 0 .
Il reste à voir si f est dérivable et si  (exp - 1).f ' + f.exp = 1  .

Bonjour,


Je ne comprends pas 'la situation'

En suivant ce que j'ai écrit  ( correctif de Razes)

nous obtenons     , k une quelconque constante   ,le dénominateur ne pouvant s'annuler dans R . . .


Alain

@interpol
  Fais donc un raisonnement correct !

Bonjour,

En utilisant pour nous obtenons: , ceci en supposant dérivable.

@interpol
; pour , alors

Tout ceci est du calcul. Mais est ce que la fonction est continue en 0, est elle dérivable?  Ce sont des questions qui permettent de réduire le nombre de solution. Sachant que l'énoncé ne précise rien de çela.

> interpol. Comme je l'ai écrit dès ma première intervention, le problème est en 0 pour la bonne raison que , ce que tu sembles ignorer puisque tu dis ne s'annule pas!

Bonsoir,

D'accord,la fonction doit être définie sur R et non sur R-/{0} .

Mais quelles sont alors les solutions?  

Alain

Calcule:

Pense au prolongement par continuité.

    bonjour, ici orrozak. J'ai travaillé la question simplement :
    D'abord je considère l'équation sans second membre (e^x - 1).y' + e^x.y = 0
    y'/y = - e^x/(e^x - 1)    de type u'/u pour les deux membres, et
    Log y = - Log k.(e^x - 1) = Log k/(e^x - 1)    donc y = k/(e^x - 1), solution de l'équation sans second membre. Maintenant, en faisant la méthode de variation de la constante
  k(x), on trouve  y = (x+a)/(e^x - 1)   a dans R et non défini pour x=0.
   Ca semble marcher. Je laisse la suite qui précisera un a éventuellement défini.
   Bon week-end.

Bon dimanche,

*Razès*  Le prolongement par continuité conduit bien à une solution (y(0)=1 ,k=0) ,

As-tu envisagé d'autres possibilités?

Amicalement,

Alain

Bonjour,

@interpol,

Je pense que c'est la seule solution et tant mieux car c'est ce qui est demandé dans l'énoncé.

@ORROZAK
Le problème n'était pas de trouver les solutions comme je l'ai indiqué à 10-08-18 à 11:43. Mais plutôt d'aller jusqu'au bout du raisonnement.

On avait trouvé . Le dénominateur s'annulé en . On a une et pour qu'on ait une chance de lever l'indeterminate il faut sinon pas de solution dans R.

Donc pour


Donc la solution est:

Rebonjour,

Pour ce qui est de la résolution de l'équation, j'ai voulu procéder par méthode de variation de la constante, après avec bien entendu calculé la solution homogène.

Voici mes brouillons :

- Pour ce qui est de la solution homogène, je trouve Sh = , C K ( + )

- Pour la solution particulière :
J'ai réécrit l'équation sous la forme : y' + y =

J'ai d'abord dit que j'étudiais cette solution sur  ] -infini, 0[ (ensuite sur l'autre portion de *)

Donc par là, la solution homogène, sur cette intervalle, est égale à , car = 1- exp(x) (toujours sur ]-infini, 0[)

On cherche alors une solution particulière yo(x) =
-yo(x) est dérivable sur cette intervalle, et yo'(x) =

Or, si yo est solution de (E), alors : yo'(x) + yo(x) =

En remplaçant les termes en yo'(x) et yo(x) par leurs expressions trouvées précédemment, je n'arrive pas à retomber sur une expression claire de C'(x).

J'obtiens :

L'idéale aurait été de trouver une expression claire de C'(x) mais ce n'est pas le cas..

Si quelqu'un voit mes erreurs, merci d'avance, et je vous prie de m'excuser de la tournure un peu longue de ce message, mais c'est en pointant exactement mes propres erreurs que je vais progresser...(je l'espère!)

Koobra

après avoir bien entendu calculé*

Tu obtiens :

C'est correct. Le 3 ème terme est l'opposé  du 2 ème.  Tu simplifié.

Suis-je bête.. Merci en effet ^^"

Avec plaisir.

Rebonjour,

La solution est unique car c'est un système de Cauchy non  ?

De plus, comment prouver  que le prolongement par continuité de y(x) en 0 est 1 ?
y(x) =

Merci d'avance ^^"

Koobra

Pour répondre à ma 2 ème question, je pense utiliser les développements limités !

Finalement non, je ne vois pas comment je peux aboutir avec..

Le  10-08-18 à 08:07 je t'ai presque fait ton exo .
Peut-être que si tu le lisais tu pourrais arriver à le terminer .

Je ne comprends pas vraiment cette méthode

L'énoncé stipule dans cette ordre précisément :

1) Résoudre (E) sur chacun des intervalles où le coefficient de y' ne s'annule pas
2) Montrer que (E) possède une unique solution que l'on déterminera

J'ai d'ors et déjà résolu l'équation, par méthode de variation de la constante.
Cela fait, je ne vois pas comment prouver qu'il y a une unique solution à cette équation.

Cependant ayant lu votre message, je comprends le sens global de la démonstration (par double inclusion) mais certains détails m'échappent.

Bonsoir,

D'accord, merci bien, j'ai maintenant compris ^^

Mais donc du coup pour l'unicité de la solution de l'équation ?