bonjour,

Il y a un a avant le y³ ?

Sans le a :

on pose y'=z

y"=dz/dx=dz/dy*dy/dx=zdz/dy


donc l'équation devient :

y³+yz*dz/dy - z²=0 (1)

or d(z²)=2zdz

on pose z²=u

et on alors y*du/dy - 2u = -2y³ (2)

On peut prévoir une solution particulière u=by³, l'identification donne alors b=-2

comme ydu/dy -2u=0 donne u=ky², la solution générale de (2) est u=-2y³ + ky²
donc z=y²(k-2y)
et z=y'=+-rac(k-2y), dx=+-dy/[yrac(k-2y)] où k est un réel.

Il reste à caluler x=+-dy/[yrac(k-2y)]

On pose rac(k-2y)=t, y=(k-t²)/2
et donc x=+-2dt/(t²-k)

On est amené à distinguer 3 cas :

1er cas : k=0
x=+-2/t+C, y=-t²/2 d'où y=-2/(x-C)²

2ème cas :k>0
on pose k=µ² avec µ>0 alors x=+-(1/µ)ln|(t-µ)/(t+µ)|+C
y=(µ²-t²)/2 soit après élimination de t :
y=µ²/(1+chµ(x-C)) avec =+-1

3ème cas : k<0
on pose k=-µ² avec µ>0 alors x=+-(2/µ)arctan(t/µ)+C
y=-(µ²+t²)/2 et cmme ci-dessus y=-µ²/(1+cosµ(x-C))


Salut

Merci beaucoup à dad97.
Juste quelques commentaires :
- il y a bien un "a" devant. Mais j'arrive sans trop de mal à lui faire parcourir le cheminement et à le retrouver à la fin...
- j'espère que je ne me suis pas trompé, en fait le but est de résoudre une équation du type y = b d²ln(y)/ dx. (une fonction égale à la dérivé seconde de son logarithme népérien à un coef prés) En bricolant j'en suis arrivé à l'équa diff mentionnée.
- dans votre solution, il y a juste un truc à la fin que je ne comprends pas : pour le second cas, je ne vois pas comment vous tombez sur un cos hypebolique. De mon coté je n'ai que des exponentielles du même signe...

Je n'ai pas lu la réponse de dad97, mais il faut savoir que:
ch(x) = [e^x + e^(-x)]/2
cela répond peut-être à ta dernière question.

JP,
C'est toujours toi ? Si c'est le cas, tu as vu sur le site de physique que ça n'avance pas beaucoup...
La question que je pose fait suite à une autre voie que je suis en train d'explorer. Mais avant d'en parler sur le site de phyisique je veux voir si ça fait du sens. D'ou ma demande d'aide pour l'équation.
Par contre tu me vexes, je veux bien être devenu très mauvais avec le temps, mais je me souviens quand même de ce qu'est un cosh...

Désolé jeanv, je n'avais pas regardé les pseudos.

Avoue cependant que suite à la question:

... je ne vois pas comment vous tombez sur un cos hypeborlique. De mon coté je n'ai que des exponentielles du même signe...

Ma réponse était logique puisque des exponentielles du même signe peuvent donner un cosinus hyperbolique.

oui, oui... Quand je dis même signe, c'est à l'intérieur de l'exponentielle dont je parlais...
Bon, je suppose que je vais finir par être banni définitivement de ces sites !
Merci à dad97 si il peut me confirmer la validité de la solution en ch, j'ai beau gratter je n'y arrive pas...

Rebonjour,
bon je vais expliquer l'apparition du ch (j'ai fait mas caluls sans le a excusez-moi encore).

x=+-1/µ*ln|(t-µ)/(t+µ)|+C

donc µ(x-C)=ln[|(t-µ)/(t+µ)|]

Pour alléger l'écriture je pose X=µ(x-C)

on a donc e^X=|(t-µ)/(t+µ)|

1er cas :=1
1er sous-cas : (t-µ)/(t+µ)>0
e^X=(t-µ)/(t+µ)
... on en tire t=µ*(1+e^X)/(1-e^X)

d'où t²=µ²*(1+e^X)²/(1-e^X)²

y=(µ²-t²)/2
= (µ²-µ²*(1+e^X)²/(1-e^X)²)/2
=(µ²/2)*(1-(1+e^X)²/(1-e^X)²)

on met au même dénominateur et on obtient :

y=(µ²/2)*(-4e^X)/(1+e^2X-2e^X)

on factorise "en haut et en bas par e^X" dans la fraction et on obtient :

y=(µ²/2)*(-4)*(1/(e^-X+e^X-2)
=µ²*[1/[(e^X+e^-X)/(-2)-2/(-2)]
=µ²/[1-chX]

et en faisant les autres cas on aboutit bien à
y=µ²/[1+ch(µ(x-C))]

Voilà
salut

Dad97,
Merci. Je m'étais arrêté avant la ligne "on factorise en haut et en bas etc..."
C'est marrant, tous ces petits trucs dèjà en prépa j'avais du mal à les voir, et ça ne s'arrange pas avec le temps. Je vous promets, j'y ai pourtant passé quelques heures. J'ai honte...
C'est bizarre, pourquoi certains "voient" mieux que d'autres ? Questions de neurones ?  
Bref, sur ces pensées hautement philosophiques, bonne soirée et merci encore