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Equa diff ordre 2 compliqué

Posté par
Hoplia15 14-06-18 à 17:46

Bonjour, auriez-vous une idée de comment résoudre cette équation homogène ?

x²(x+1)y" -  x(x²+4x+2)y' + (x²+4x+2)y = 0  

J'ai essayé par déterminer le polynôme caractéristique (delta >,< ou = 0), tout ça .. mais je n'y arrive pas, ces polynôme du second degrés devant y", y' et y me gênent énormément ..

Merci

Posté par
matheuxmatoure : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 18:15

bonjour
les coefficients n'étant pas constant, la méthode de l'équation caractéristique ne fonctionne pas !

Posté par
carpediemre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 18:26

salut

je poserai fort probablement z = (x^2 + 4x + 2)y et calculerai z' et z" ... pour voir ....

ensuite puisque le second membre est nul et qu'on a des coefficients poynomiaux je testerai évidemment un polynome ...

Posté par
matheuxmatoure : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 18:31

personnellement j'ai remarqué que les fonction du type ax sont solutions

est-ce que le changement y=z x ne donnerait pas une équation en z sympathique ?

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 18:33

J'ai bien posé :

z = (x² + 4x + 2)
z' = (2x + 4)
z" = 2

mais je vois pas vraiment quoi en faire ...

Posté par
larrechre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 18:56

Bonjour,

J'ai l'impression qu'en posant z=\dfrac{y}{x}  on se ramène à une équation différentielle du type f(z'', z', x)= 0, donc du premier ordre en z'

A vérifier car je n'ai pas le temps de reprendre mes calculs pour l'instant.

Posté par
matheuxmatoure : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 18:59

larrech

oui, c'est ce que je disais !

si je ne m'abuse on obtient (x+1)z"-(x+2)z' = 0

Posté par
larrechre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 19:11

Bonjour matheuxmatou

Excuses, je n'avais pas vu, tout fier que j'étais...

J'avais remarqué que l'équation s'écrivait

y''x^2(x+1)+ (x^2+4x+2)(y-xy')=0 et qu'au signe près, \dfrac{y-xy'}{x^2} est la dérivée de \dfrac{y}{x}

Ensuite on peut exprimer y'' en fonction de z'' et z', mais je me suis arrêté là, sans "consolider" l'ensemble.

Posté par
carpediemre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 19:12

matheuxmatou et larrech : alors tant mieux ...

Hoplia15 : as-tu lu ce que j'ai écrit : ce que tu fais est sans intérêt ...

Posté par
carpediemre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 19:13

larrech  : j'ai vu la même chose ...

Posté par
flightre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 20:50

salut

et en faisant comme ceci ;

x²(x+1)y" + (x+2)².(-xy' +y)= 0    en transformant un peu l'equation de depart

puis en posant Z = y - xy'  il vient  Z' = y' - ( y' + x.y") = -x.y"   d'ou y" = -Z'/x

et donc    -x(x+1).Z'  + (x+2)².Z = 0    

Posté par
larrechre : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 21:41

Tous calculs faits, avec le changement de fonction z=\dfrac{y}{x}, j'obtiens le même résultat que matheuxmatou, à savoir

(x+1)z''-(x+2)z'=0

Posté par
toureissare : Equa diff ordre 2 compliqué 14-06-18 à 23:52

y=x est une solution  est une de l'équation et la solution général de l'équation est une combinaison de deux solutions linéairement indépendantes. Donc on cherche y_2 solution de l'équation qui ne depend pas de y_1. Alors:

\begin{cases} & \text{ }x^2(x+1)y_{1}^{''}-x(x^2+4x+2)y_{1}^{'}+(x^2+4x+2)y_1 = 0 \\ & \text{ } x^2(x+1)y_{2}^{''}-x(x^2+4x+2)y_{2}^{'}+(x^2+4x+2)y_2 = 0 \end{cases}


En éliminant y_1 et y_2 on ramener l'équation avec changement de variable en une équation à variables séparables on a:

x^2(x+1)(y_1y_{2}^{''}-y_2y_{1}^{''})-x(x^2+4x+2)(y_1y_{2}^{'}-y_2y_{1}^{'}) =0

Z=y_1y_{2}^{'}-y_2y_{1}^{'}

Z'=y_1y_{2}^{''}-y_2y_{1}^{''}

Et l'équation devient :

x^2(x+1)Z'-x(x^2+4x+2)Z=0



Après avoir calculer Z on remplace y_1 par x pour trouver y_2.

Posté par
luzakre : Equa diff ordre 2 compliqué 15-06-18 à 08:24

Bonjour !
Sans revenir sur le bien fondé de vos diverses astuces je me permets de rappeler que si on connait une solution u d'une équation différentielle linéaire(à second membre nul) du second ordre, l'utilisation de y=uz conduit, pour z', à une équation différentielle linéaire d'ordre 1.

Posté par
toureissare : Equa diff ordre 2 compliqué 15-06-18 à 09:37

Merci luzak ça rend moins complexe.

Posté par
matheuxmatoure : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 11:05

flight @ 14-06-2018 à 20:50

salut

et en faisant comme ceci ;

x²(x+1)y" + (x+2)².(-xy' +y)= 0    en transformant un peu l'equation de depart

puis en posant Z = y - xy'  il vient  Z' = y' - ( y' + x.y") = -x.y"   d'ou y" = -Z'/x

et donc    -x(x+1).Z'  + (x+2)².Z = 0    


euh ... (x+2)² ne vaut pas tout à fait x²+4x+2 ...

Posté par
flightre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 13:11

merci matheuxmatou   .. erreur ! désolé .... dans ce cas  

-x(x+1).Z'  + (x+4x+2).Z = 0    

Posté par
flightre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 13:11

-x(x+1).Z'  + (x²+4x+2).Z = 0    

Posté par
Razesre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 15:55

Bonjour,

J'ai repris la méthode générale de résolution. toureissa l'a proposé mais sans faire référence au Wronskien .

a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0\Leftrightarrow x^{2}(x+1)y'' - x(x^{2}+4x+2)y' +(x^{2}+4x+2)y = 0 : (E)

y_1=x :est une solution de (E);(y_1,y_2) un système fondamental de solutions de l'équation (E); le Wronskien W(x) vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 1

W(t)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)y'_{2}(x)-y_{2}(x)y'_{1}(x). (E')

et  x^{2}(x+1)W'(x) - x(x^{2}+4x+2)W(x)= 0

Pour x\neq 0 et x\neq -1  : \dfrac{W'(x)}{W(x)}=\dfrac{x(x^{2}+4x+2)}{x^{2}(x+1)}=\dfrac{x^{2}+4x+2}{x(x+1)}=1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}, on détermine W(x)

(E'): W(t)=y_{1}(x)y'_{2}(x)-y_{2}(x)y'_{1}(x) et y_1(x)=x\Rightarrow xy'_{2}(x)-y_{2}(x)=W(t); qu'il faut résoudre.

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 16:17

Mais tout d'abord vous n'expliquez pas comment vous trouvez la solution y1 = x

Et puis je pense que la méthode Razes est celle attendue par les profs  .. je me souviens avoir survoler rapidement le Wronksien en cours.

Posté par
lafol Moderateurre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 17:20

Bonjour

Hoplia15 @ 16-06-2018 à 16:17

Mais tout d'abord vous n'expliquez pas comment vous trouvez la solution y1 = x

carpediem @ 14-06-2018 à 18:26

salut

je poserai fort probablement z = (x^2 + 4x + 2)y et calculerai z' et z" ... pour voir ....

ensuite puisque le second membre est nul et qu'on a des coefficients poynomiaux je testerai évidemment un polynome ...

Posté par
Razesre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 19:42

Hoplia15 @ 16-06-2018 à 16:17

Mais tout d'abord vous n'expliquez pas comment vous trouvez la solution y1 = x

Tu peux chercher une solution sous forme de polynôme y (x)=\sum_0^na_kx^k. Car dans ton équation a (x), b (x), c (x) sont des polynômes donc probablement une solution peut exister.

Posté par
Razesre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 19:45

La solution y=x existe, le calcul suggéré peut te le prouver.

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 21:44

Mais pourquoi y1(x) = 1 est une solution évidente ? C'est aussi ce qu'a écrit le prof dans le corrigé sans dire pourquoi.

Elle a écrit : "On vérifie aisément que y1(x)=x est solution de l'équation homogène associée" ..

Je suis perdu ..

Posté par
Razesre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 21:50

Hoplia15 @ 16-06-2018 à 21:44

Mais pourquoi y1(x) = 1[rouge][/rouge] est une solution évidente ? C'est aussi ce qu'a écrit le prof dans le corrigé sans dire pourquoi.
Faux

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 21:52

Oups je voulais ecrire y1(x) = x .. pardon

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 22:37

Un autre exemple :

(x+1)y'' - (2x-1)y' + (x-2)y = x+1
Équation homogène :
(x+1)y'' - (2x-1)y' + (x-2)y = 0

Le prof écrit encore un fois : "On vérifie aisément que y1(x)=exp(x) est solution de l'équation homogène associée"

Je veux savoir vérifier aisément moi aussi ..

Posté par
toureissare : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 22:40

Oui si la somme des coefficients donne 0. Tu peux prendre exp , car en dérivant ça ne change pas.

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 22:51

toureissa @ 16-06-2018 à 22:40

Oui si la somme des coefficients donne 0. Tu peux prendre exp , car en dérivant ça ne change pas.


Ah d'accord ..
Et dans le cas où la somme des coefficients n'est pas égale à 0, il faudrait faire quoi ?  

Posté par
lafol Moderateurre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 22:55

c'est comme pour les racines "évidentes" des équations polynomiales : tu as appris au collège à tester zéro, un, moins un, qui se testent très vite
ici teste exponentielle x (hyper cool à dériver, donc facile à tester), x (idem), éventuellement x² ou 1/x (déjà un peu plus tordu à essayer, mais certaines formes des coeffs poussent à tenter)

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:09

lafol @ 16-06-2018 à 22:55

c'est comme pour les racines "évidentes" des équations polynomiales : tu as appris au collège à tester zéro, un, moins un, qui se testent très vite
ici teste exponentielle x (hyper cool à dériver, donc facile à tester), x (idem), éventuellement x² ou 1/x (déjà un peu plus tordu à essayer, mais certaines formes des coeffs poussent à tenter)


Je devrai les tester ? Comment ça ?
Ce que vous dites parait peut-être évident pour vous mais pas pour moi .. je sais comment trouver les racines des équation polynomiales avec le discriminant tout ça .. mais là je saisi pas du tout ce que vous voulez dire ...

Posté par
toureissare : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:16

Que faut-il premièrement pour résoudre x^3-3x-2=0?

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:21

toureissa @ 16-06-2018 à 23:16

Que faut-il premièrement pour résoudre x^3-3x-2=0?


On factorise et on détermine x .. ou sinon  on peut calculer le discriminant et trouver les racines ..

Posté par
toureissare : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:24

Comment on le factorise?

J'espère que cet exemple pourras t'aider à comprendre ce que dit lafol.

Posté par
lafol Moderateurre : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:36

je crois qu'il n'a toujours pas compris que pour vérifier qu'un nombre particulier est racine, on n'a pas besoin de résoudre complètement l'équation ....
sinon, pas de x en facteur dans l'équation proposée par toureissa, ni de discriminant puisqu'elle n'est pas du second degré ....

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:38

toureissa @ 16-06-2018 à 23:24

Comment on le factorise?

J'espère que cet exemple pourras t'aider à comprendre ce que dit lafol.


ça donne (x² -r1)(x - r2) où r1 et r2 sont les racines ..

Posté par
toureissare : Equa diff ordre 2 compliqué 16-06-18 à 23:44

Si on remplace x par r1 ça donne 0 ?

En première tu as  vu comment résoudre les équations de degré supérieur à 2. En cherchant d'abord une (ou des) racines évidentes. Tu te souvient ?

Posté par
Hoplia15re : Equa diff ordre 2 compliqué 17-06-18 à 00:06

toureissa @ 16-06-2018 à 23:44

Si on remplace x par r1 ça donne 0 ?

En première tu as  vu comment résoudre les équations de degré supérieur à 2. En cherchant d'abord une (ou des) racines évidentes. Tu te souvient ?


On ça ne fait pas 0 ..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equa diff ordre 2 compliqué 17-06-18 à 12:22

Bonjour,
Hoplia15 risque de se lasser si on lui balance d'autres questions sans aucune piste.
Pour résoudre x3 - 3x - 2 = 0 , on peut commencer par remarquer qu'il y a une solution entière notée r1 ; puis on factorise x3 - 3x - 2 par (x-r1) .

Posté par
Razesre : Equa diff ordre 2 compliqué 17-06-18 à 13:03

Bonjour,
Surtout que la solution entière notée r_1 n'est pas très difficile!


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