equation homogene:
y"+5y'+4y=0
delta=25-16=9
racine: (-5+3) /2=-1
racine: (-5-3)/2=-4
donc solution:
y(x)=Ae(-4x)+Be(-x)

pour trouver une solution particulière:
On cherche une solution de la forme
y(x)=(Mcos(x)+Nsin(x))e(-2x)
alors y'(x)=(-Msinx+Ncos(x)-2Mcos(x)-2Nsin(x))e(-2x)
et y"(x)=(-Mcos(x)-Nsin(x)+2Msin(x)-2Ncos(x)+2Msin(x)-2Ncos(x)+4Mcos(x)+4Nsin(x))e(-2x)
y"(x)=(+4Msin(x)-4Ncos(x)+3Mcos(x)+3Nsin(x))e(-2x)

on remplace dans l'equation:
y"+5y'+4y=e(-2x)sin(x)
(+4Msin(x)-4Ncos(x)+3Mcos(x)+3Nsin(x))e(-2x)
+5(-Msinx+Ncos(x)-2Mcos(x)-2Nsin(x))e(-2x)
+4(Mcos(x)+Nsin(x))e(-2x)=e(-2x)sin(x)

on simplifie:
(-Msin(x)+Ncos(x)-3Mcos(x)-3Nsin(x))=sin(x)

-M+3N=1
N-3M=0

-M+9M=1
donc M=1/8
et N=3/8

y=(1/8cosx+3/8sinx)e(-2x) est solution particulière

la solution generale c'est donc:
y(x)=(1/8cosx+3/8sinx)e(-2x)+y(x)=Ae(-4x)+Be(-x)


Calculs a verifier bien entendu!
A+

coquille dernière phrase:



la solution generale c'est donc:
y(x)=(1/8cosx+3/8sinx)e(-2x)+Ae(-4x)+Be(-x)  

Merci pour ta correction. Juste une question  : pourquoi cherches-tu
une solution particulière de la forme : (Acos(x)+Bsin(x))exp(-2x)
?

Je sais que j'abuse un brin mais c'est la dernière fois...
Est-ce que quelqu'un qui s'ennuie     pourrait me proposer
une esquisse de solution pour cette meme equation mais en utilisant
une matrice wronskienne ? (sans forcement mener les calculs jusqu'au
bout, je me débrouillerai...)

La technique n'est peut-etre pas très adaptée mais disons que c'est
bon pour mes révisions..

Merchi boucoup aux téméraires qui me répondront.

En fait, quand tu as une équadif du 2e ordre.

genre y''+2y+2=A

déjà tu pose la forme homogène :   y"+2y'+2y+2=0
à laquelle tu peux associer la forme canonique x²+2x+2=0  qui est une
equa du seconde degrès.

Tu cherche le déterminant DELTA de cette équation et les racines (même
si elles sont complexes). La solution générale de l'équadif
homogène peut varier selon si DELTA positif, DELTA =0 ou DELTA <0

Je me rapelle plus très bien des solution mais, si delta est positif
ou nul, on aura des exponentielles (ou une somme d'exp), mais
si delta négatif, on travaille avec des complexes, et la on aura
des sinusoides.

Une fois que tu as la solution de l'équadif homogène, il faut trouver
une fonction particulière pour laquelle l'équadif non-homogène
est résolue.

Pour ca il fo partir du membre de droite.

On a y"+2y' +2y+2=A

Si pour l'exemple, on prend A une constante.
Ca veut dire qu'une solution particulière y1 est une constante.

donc y1'=0    et y1"=0   (plus nul que nul fait toujours nul  
)

ca donnera 2y1+2=A  donc y1=A/2-1
La ta une solution particulière qui va vérifier l'équadif totale.

Prenons un autre exemple : A est une fonction affine de type ax+b.  (En admettant
bien sur que les y soient aussi des fonctions de x)
Ca veut dire que une solution particulière y1 est une fonction affine.

donc y1'=a  y1"=0
=> 2a+2y1=ax+b  et hop résolue


Donc une fois que tu as la solution générale de l'équadif homogène,
et une solution particulière de l'équadif non-homogène, il suffit
de faire la somme des deux (sans omettre les constantes d'intégration)
pour obtenir la solution générale de l'équadif non-homogène
(équadif totale).


Sauf erreur de ma part

Le dernier message était de moi, désole

autre erreur :

pour la homogène c'est pas  y"+2y'+2y+2=0  mais
y"+2y'+2y=0

Merci de tes conseils avisés Mayhem. C'est sympa de ta part
de m'avoir donné une réponse si détaillée.