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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Equation x^3=2^x
Posté par Igurashii
Enoncé :
Soit l'équation (E) : x3=2x
a) Justifier que l'équation admets des solutions dans R
(recherche: théorème des valeurs intermédiaires)
b) Démontrer qu'elle n'admet aucune solution dans Z
(recherche: raisonner par l'absurde, étudier le signe de x puis comparer les valuation 2-adiques des deux membres de l'équation pour obtenir une contradiction)
c)Est ce que l'équation admet des solutions dans Q?
(recherche : utiliser le résultat précédent, s'il y a des solutions rationnelles alors ce sont forcement des solutions entières)
J'ai mis quelque piste mais je n'arrive pas à aller jusqu'au bout en les utilisant...
Pouvez vous m'aider?
a) On pose f(x) = x3-2x
f est définie sur R, f(R)=[-2;+∞[
f est continue sur R et 0∈[-2;+∞[
Donc il existe c∈R tel que f(c)=0.
Donc c3-2c=0.
Donc il existe des solution de (E) dans R.
b) On suppose que (E) admet une solution dans Z.
Alors il existe k∈Z / k3=2k
k admet une décomposition unique en facteur premiers telle que k=p1v1(k)...pmvm(k), m∈N.
Soit v2(k) la valuation 2-adique de k.
k3=(p1v1(k)* 2v2(k)...pmvm(k))3=2k
Donc v2(k)3=k.
Et je n'arrive pas à aller plus loin.
Correction de ma part dans la recherche de la question b):
b) On suppose que (E) admet une solution dans Z.
[...]
Donc 3*v2(k)=k.
Alors 3|k.
k3= (2v2(k))3
<=> (3*v2(k))3= (2v2(k))3
<=> 3*v2(k)= 2v2(k)
salut
a/ es-tu sûr de f(R) ?
b/ pourquoi changer x en k ?
enfin on peut remarquer que f(1) = ... et f(2) = ... (+ les variations de f)
si x est entier et solution alors x est pair ... on peut alors écrire et remplacer dans l'équation
c/ si x est rationnel alors écrire x = p/q ... puis "bidouiller" l'équation pour revenir à des entiers ...
Bonjour,
Pour a) aussi on peut remarquer que f(1) = ... et f(2) = ... .
Chercher f(
) est alors inutile.
oui mais les variations peuvent servir pour b/
certes on a f(1) = ... et f(2) = ...
mais pour b/ il est bon de voir f(9) = ... et f(10) = ...
PS : j'ai "triché" avec ggb 
même si on s'en doutait bien par simple calcul des limites sur R avec f(2) > 0 ...
