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equation

Posté par lolita19 (invité) 22-07-07 à 20:36

bonjour
s il vous plait est ce que vous pouvez me donner une methode pour resoudre cette equation
z^4+4z^3+14z^2+36z+45=0
il ya 4 solutions dont 2 sont imaginaires pures
s il vous plait je doit vraiment la resoudre
merci d avance

Posté par
raymond Correcteurequation 22-07-07 à 20:41

Bonsoir.

Il faut que tu exploites l'indication "deux solutions imaginaires pures" en posant z = iy, y réel.

A plus RR.

Posté par
1 Schumi 1re : equation 22-07-07 à 20:43

Bonsoir,

Que signifie pour toi cette précieuse indication: "2 sont imaginaires purs". Traduis le en équation.

Posté par
1 Schumi 1re : equation 22-07-07 à 20:44

Ah, grillé.

Salut \mathfrak{R}\mathfrak{R}

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 20:46

j vais mettre z_1 et z_2 imaginaires pures tel que z_1=-z_2 et aussi z_3=-z_4 et aprés ?

Posté par
1 Schumi 1re : equation 22-07-07 à 20:51

Quoi? Non, je veux dire traduis le sous la forme d'une équation dont il sont solution.

z_1 et z_2 sont deux imaginaires purs solutions de l'équation.
Donc z_1=ai avec a€R et z_2=a'i, a'€R

\textrm z_1^4+4z_1^3+14z_1^2+36z_1+45=0
A toi...

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 21:01

est ce que j vais factoriser?
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)=0 avec z_1=aietz_2=-ai et z_3=c+diet z_4=c-di

Posté par
1 Schumi 1re : equation 22-07-07 à 21:02

Non, pas besoin. Utilise ce que je t'ai donné. Attends, j'essaie pur voir si ça marche.

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 21:06

ok merci
j ai utilisé toutes les methodes mais ça n a pas marché
et j ai vraiment besoin de la solution

Posté par
1 Schumi 1re : equation 22-07-07 à 21:15

Evidemment que ça marche.

Voilà pour le premier.

On sait par hypothèses que ya deux solutions qui sont des imaginaires purs.

Soit z_1 une de ces deux solutions.
Dans ce cas, z_1=ai avec a\in\mathbb{R}

et ainsi:
z_1^4+4z_1^3+14z_1^2+36z_1+45=0 \Longlefrightarrow (ai)^4+4(ai)^3+14(ai)^2+36(ai)+45=0.
On développe et en utilisant le fait que deux nombres complexes sot égaux ssi leurs parties imaginaires et réelles sont respectivement égales, on a e particulire que:

36a-4a^3=0

Je te laisse trouver es valeurs possibles de "a" et vérifier en ne retenant que cells qui conviennent. Tu en trouves deux. Magnifique ...

Posté par
1 Schumi 1re : equation 22-07-07 à 21:17

rectification >>

z_1^4+4z_1^3+14z_1^2+36z_1+45=0 \Longleftrightarrow (ai)^4+4(ai)^3+14(ai)^2+36(ai)+45=0

Bon, je te laisse, je dois yaller. Pose toujours tes questions, j'essaierai de té répondre demain.


Ayoub.

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 21:17

Bonsoir,

En posant z=iy avec y réel :

3$z^4+4z^3+14z^2+36z+45=0 \\ \\ (iy)^4+4(iy)^3+14(iy)^2+36(iy)+45=0 \\ \\ y^4-4iy^3-14y^2+36iy+45=0 \\ \\ y^4-14y^2+45 +i(4y^3+36y)=0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ \ y^4-14y^2+45=0 \ \textrm{ et } \ 4y^3+36y=0

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 21:19

merci beaucoup les amis

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 21:27

est ce qu on va utiliser la meme methode pour les 2 autres solutions?

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 21:28

Non. Commence par chercher les valeurs de y à l'aide de ces 2 équations.

Posté par
cailloux Correcteurre : equation 22-07-07 à 21:30

Bonsoir,

>> Jamo
Une petite faute de frappe à la fin:

3$\cdots\Longleftrightarrow \{y^4-14y^2+45=0\\-4y^3+36y=0

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 21:31

oui et après qu on trouve les 2 solustions imaginaires pures ?
je veux juste la methode

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 21:31

Zut, j'ai fait une erreur !!

3$z^4+4z^3+14z^2+36z+45=0 \\ \\ (iy)^4+4(iy)^3+14(iy)^2+36(iy)+45=0 \\ \\ y^4-4iy^3-14y^2+36iy+45=0 \\ \\ y^4-14y^2+45 +i(-4y^3+36y)=0 \\ \\ \Longleftrightarrow \ \ y^4-14y^2+45=0 \ \textrm{ et } \ -4y^3+36y=0

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 21:32

merci cailloux !

Une fois que tu auras tes 2 solutions imaginaires pures, tu pourras facilement factoriser ton polynome initial.

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 21:37

Et voici la solution pour vérifier :

Posté par lolita19 (invité)re : equation 22-07-07 à 21:38

desolée mais j ai pas bien compris comment le faire

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 22:05

Pour commencer, tu dois résoudre le système suivant :

3$\{y^4-14y^2+45=0 \\ -4y^3+36y=0

Posté par
jamo Moderateurre : equation 22-07-07 à 22:08

Commence par la 2ème équation :

-4y3+36y = 0

<==> -4y(y²-9) = 0

<==> -4y = 0 ou y²-9 = 0

<==> y = 0 ou y = 3 ou y = -3

Tu as 3 solutions, mais il faut vérifier si elles fonctionnent aussi dans la 1ère équation y4-14y²+45=0

Posté par
geo3re : equation 22-07-07 à 22:18

Bonsoir
z4+4z³+9z²+5z²+9.4z+9.5 = 0  ==>
(z4+9z²) + (4z³+9.4z) + (5z²+9.5) = 0 ==>
z²(z²+9) + 4z(z²+9) + 5(z²+9) = 0 ==>
(z²+9)(z²+4z+5) = 0  ==>
z = + 3i  ; z = - 3i
z = -2 + i ; z = -2 - i
A+


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