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x(x+y)=4
y(y+x)=12

x+y=16

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S=4

non?

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x=1
y=3

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x² + xy = 4
y² + xy = 12

On additionne membre à membre les deux équations :
x² + 2xy + y² = 16
(x + y)² = 16
soit    x + y = 4    ou    x + y = -4

On soustrait membre à membre les deux équations :
x² - y² = -8
(x + y)(x - y) = -8

Si    x + y = 4    alors    x - y = -2
On additionne membre à membre ces deux équations :
2x = 2    soit    x = 1
y = 4 - x = 3

Si    x + y = -4    alors    x - y = 2
On additionne membre à membre ces deux équations :
2x = -2    soit    x = -1
y = -4 - x = -3

Les deux couples de solutions sont donc :
x = 1   et   y = 3
x = -1   et   y = -3

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J'ai oublié

x=-1
y=-3

car y=3x ...

S={4;-4}

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on peut s'en tirer en faisant le quotient des équations.