Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup LogiqueTopics traitant de logique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

equation 2^x = x²

Posté par
Neolag 05-09-10 à 16:14

Bonjour, je rentre en CPGE PCSI et les premiers exercices de maths sont tombés Une question me pose problème :

Pour quelles valeurs de n (n étant un entier naturel), l'inégalité 2x > x² est-elle vraie ?

Je pense devoir résoudre l'équation 2x = x² mais c'est ici que ça bloque. J'ai essayé avec la fonction ln, en vain.

Si vous avez une astuce pour résoudre cette équation ou bien encore une autre piste pour résoudre la question, merci de m'éclairer un peu

Posté par
cailloux Correcteurre : equation 2^x = x² 05-09-10 à 16:20

Bonjour,

2^x>x^2\Longleftrightarrow \frac{\ln\,x}{x}<\frac{\ln\,2}{2}

On peut étudier la fonction x\mapsto \frac{\ln\,x}{x} sur ]0,+\infty[

et remarquer que 2 et 4 sont deux valeurs bien particulières...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : equation 2^x = x² 05-09-10 à 16:26

Salut

c'est juste à partir de n=5. La preuve peut être faite par une récurrence par exemple:

pour n=5, c'est juste.

Suppons le vrai pour n et montrons le pour n+1:

3$ 2^{k+1}=2(2^k)\ge 2(k^2) = k^2+k^2 \ge k^2+2k+1 \ge (k+1)^2

On a utilisé le fait que 3$k^2\ge 2k+1 pour 3$k\ge 5 ce qui est simple à démontrer

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : equation 2^x = x² 05-09-10 à 16:27

Salut Cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : equation 2^x = x² 05-09-10 à 16:33

Salut monrow

Je n' avais pas vu qu' il s' agissait d' entiers

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : equation 2^x = x² 05-09-10 à 16:35

oui en effet, des fois il écrit des x et des fois des n

Posté par
cailloux Correcteurre : equation 2^x = x² 05-09-10 à 16:36

C' est vrai aussi pour n=0 ou 1

En fait c' est vrai pour tout n sauf 2,3 et 4 (si l' inégalité est stricte)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !