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equation

Posté par Djeffrey (invité) 24-03-05 à 18:45

Bonjour, j'ai un exo pas tres dur sur une equation matricielle, mais j'ai du mal a cerner tous les cas possibles et j'ai peur d'en oublier, voila :
\textrm il faut resoudre dans M_2(\mathbb{R}) l'equation X^2=I_2.

Donc j'aboutit evidemment a un systeme de 4 equation en a, b, c et d si ma matrice s'écrit sous la forme :
4$X=\(\array{\\&a&b\\&c&d&\)

et j'aurais besoin d'aide sur le traitement des cas.
Merci

Posté par
isisstruissre : equation 24-03-05 à 18:58

Bonjour Djeffrey!

Tu dois faire la multiplication matricielle puis faire en sorte qu'on obtienne l'identité...

\large\(\array{a&b\\c&d}\)\(\array{a&b\\c&d}\)=\(\array{a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&cb+d^2}\)=\(\array{1&0\\0&1}\)

On en tire un système de 4 équations et 4 inconnues:
\large\{\array{a^2+bc=1\\b(a+d)=0\\c(a+d)=0\\bc+d^2=1}\.

Isis

Posté par titimarion (invité)re : equation 24-03-05 à 19:09

Salut tu obtiens
a²+bc=1=d²+bc
ab+bd=0=ac+cd
Donc a²=d² ce qui implique a=\pm d
Supposons a=d=0
alors bc=1 ;Donc X=\begin{pmatrix}0&b\\1/b&0\end{pmatrix}

a=d différent de 0.
On a donc b=c=0 donc a²=d²=1 donc 2 possibilité X=\pm I_2

Cas général a=-d\not= \pm 1
bc=1-a²\not = 0
c=\frac{1-a^2}{b}
Donc X=\begin{pmatrix}a&b\\\frac{1-a^2}{b}&-a\end{pmatrix}

Posté par
isisstruissre : equation 24-03-05 à 21:04

Petite remarque sur la résolution de titimarion:
Le premier cas (a=d=0) est un cas particulier du deuxième cas (a=-d) qu'elle a très justement appelé "Cas général". Parcontre il me semble qu'elle a oublié le cas b=c=0 qui ne donne pas forcément la matrice identité comme solution..

Isis

Posté par titimarion (invité)re : equation 24-03-05 à 21:07

En effet a=-d etait dans le dernier cas et b=c=0 revient à a=\pm d=\pm 1 excuse moi j'ai été un peu vite tout à l'heure


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