Salut,
Remplace sin²x par 1-cos²x

J'obtiens sinx(2cosx+4cos²x)=cosx+2cos²x

comment je simplifie ? je suis tentée de diviser chaque membre par cosx+2cos²x mais je ne vois pas ce que ça donne pour le membre de gauche ?

Le mieux c'est de ne pas diviser.
sinx(2cosx+4cos²x)=cosx+2cos²x
2sinx(cosx+2cos²x)-cosx+2cos²x = 0
(cosx+2cos²x)(2sinx-1)=0
etc...

2sinx(cosx+2cos²x)=cosx+2cos²x
2sinx=1
sinx=1/2
x=PI/6 + 2kPI
x=5PI/6 +2kPI

je pense que ça doit être ça

On a dû se croiser...
(cosx+2cos²x)(2sinx-1)=0
cosx(1+2cosx)(2sinx-1)=0
cosx=0  ou  cosx=-1/2  ou  sinx=1/2

etc...

D'accord je vois, avec ma réponse je n'ai pas toutes les solutions

Oui bien sûr, c'est juste un oubli de parenthèses :
2sinx(cosx+2cos²x)-(cosx+2cos²x) = 0
puis on factorise (cosx+2cos²x)

Merci j'ai compris !

De rien  

sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 1 + cos(x) + cos(2x)

sin(x) + 2.sin(x).cos(x) + 3.sin(x) - 4.sin³(x) = 1 + cos(x) + 2cos²(x) - 1

4.sin(x) + 2.sin(x).cos(x) - 4sin³(x) = cos(x) + 2cos²(x)
4.sin(x) + 2.sin(x).cos(x) - 4sin³(x) - cos(x) - 2cos²(x) = 0
4.sin(x).(1-sin²(x)) + 2.sin(x).cos(x) - cos(x) - 2cos²(x) = 0
4.sin(x).cos²(x) + 2.sin(x).cos(x) - cos(x) - 2cos²(x) = 0
cos(x).(4.sin(x).cos(x) + 2.sin(x) - 1 - 2cos(x)) = 0

a) : cos(x) = 0 ---> x = Pi/2 + k.Pi

b) Si cos(x) est diff de 0, alors : 4.sin(x).cos(x) + 2.sin(x) - 1 - 2cos(x) = 0
2.cos(x).(2sin(x) - 1) + 2.sin(x) - 1 = 0
(2.sin(x) - 1).(2.cos(x) + 1) = 0

sin(x) = 1/2 : x = Pi/6 + 2k.Pi ou x = 5Pi/6 + 2k.Pi
cos(x) = -1/2 : x = 2Pi/3 + 2kPi ou x = -2Pi/3 + 2k.Pi
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Groupement des résultats :

x = Pi/2 + k.Pi
x = Pi/6 + 2k.Pi
x = 5Pi/6 + 2k.Pi
x = 2Pi/3 + 2kPi
x = -2Pi/3 + 2k.Pi

Avec k dans Z.
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Sauf distraction.  

Merci JP je suis arrivée au même résultat avec un développement différent car je ne savais pas que sin(3x)= 3.sin(x) - 4.sin³(x) et j'ai transformé cos(2x) en cos²x-sin²x