f(0)=0
tu applique dans f(x)
tu obtint donc que d=0
f'(0)=0
tu dérive d(x)
f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+c
d'ou c=0

Donc c'est cohérent avec ta réponse pas de pb.
Ensuite deux inconnus a et b
DEux équiations
64a+16b=3   EQ2
3a*16+2b*4=0.5  <=> 48a+8b=0.5 <=> 96a+16b=1   Eq1

Eq1-Eq2 => 32a =2   a=1/16
Tu injecte dans EQ1
4+16b=3
16b=-1
b=-1/16

D'ou f(x)=(x^3)/16 - (x^2)/16

f(x)= ax³+bx²+cx+d
calculons f'(x) :
f'(x) = 3ax²+2bx+c

D'apres l'énoncé, on a :

f(0) = 0
f(0) = d
Donc d = 0

f'(0) = 0
f'(0) = c
Donc c = 0

f(4) = 3
f(4) = 64a+16b+4c+d
Sachant que c =0 et d = 0
f(4) = 64a+16b
64a+16b = 3
a = (-16b+3)/64

f'(4) = 1/2
f'(4) = 48a+8b+c
c = 0 donc :
48a+8b = 1/2

Donc on obtient le systeme a résoudre :

a = (-16b+3)/64
48a+8b = 1/2

a = (-16b+3)/64
48[(-16b+3)/64] + 8b = 1/2

a = (-16b+3)/64
3[(-16b+3)/4] + 8b = 1/2

a = (-16b+3)/64
(-48b+9)/4 + 8b - 1/2 = 0

a = (-16b+3)/64
(-48b+9+32b-2) / 4 = 0

a = (-16b+3)/64
-48b+9+32b-2 = 0

a = (-16b+3)/64
-16b+7 = 0

a = (-16b+3)/64
16b = 7

a = (-16b+3)/64
b = 7/16

a = [(-16(7/16)+3] / 64
b = 7/16

a = -4/64
b = 7/16

a = -1/16
b = 7/16

Donc au final on a :
a = -1/16
b = 7/16
c = 0
d = 0

La fonction est donc :
f(x) = (-1/16)x³ + (7/16)x² + 0x + 0
f(x) = (-1/16)x³ + (7/16)x²

Sauf erreurs de calcul...
a+

Dans ta réponse Rudybanuls, je crois que ton équation de fin a une
erreur de signe...

32a =2 --> faux
32a = -2

Donc a = -1/16
En remplacant dans eq 1 on a :
64(-1/16) + 16b = 3
-4+16b = 3
16b = 7
b = 7/16

Je pense que c'est pour cela que l'on ne trouve pas les memes
résultats...

a+