Bonjour,
Pour ces équations, on peut très facilement, en effet, trouver des valeurs approchées des solutions avec la calculatrice ... mais on n'aura jamais les solutions exactes tout simplement parce qu'elles ne peuvent pas s'exprimer avec des expressions algébriques habituelles.

Comment avec la calculatrice?
Je parle bien d'une calculatrice simple, qui ne peut pas directement donner solutions d'une équation entrée.

Désolé du double post: par calculatrice simple, j'entends une calculatrice scientifique non graphique, qui ne résous pas les équations.

Bonjour,

si tu n'es pas trop pressé avec une calculatrice même pas programmable (par exemple celle de Windows, réglée en radians bien sûr) :
Tu tapes un nombre quelconque par exemple 1 (vaut mieux entre 0 et 1 vu que le cosinus est forcement entre -1 et 1 !)
Tu tapes jusqu'à vraiment plus soif (parce que ça converge vers la solution, mais vraiment très lentement)
cos=cos=cos=cos=cos= ...

Tout simplement parce que si la suite U_n = cos(U_n-1), U₀ = 1 converge (elle le fait)
alors sa solution satisfait l'équation X = cos(X)
La limite de cette suite est donc une des solutions de cos(x) = x

U[0] = 1
U[1] = 0.5403023058681398
U[2] = 0.8575532158463934
U[3] = 0.6542897904977791
U[4] = 0.7934803587425656
U[5] = 0.7013687736227565
U[6] = 0.7639596829006542
U[7] = 0.7221024250267077
U[8] = 0.7504177617637605
...
U[50] = 0.7390851339216605
U[51] = 0.7390851327392538
U[52] = 0.7390851335357372
...
U[89] = 0.7390851332151605
U[90] = 0.7390851332151608
U[91] = 0.7390851332151606
U[92] = 0.7390851332151607
U[93] = 0.7390851332151607

et on peut considérer que la limite est "atteinte"

Une étude purement mathématique (pas de calculette, que du papier et de la théorie et des calculs algébriques) permettrait de trouver une suite (peut être plus compliquée) qui convergerait bien plus vite vers la solution !

C'est de toute façon la méthode générale valable pour toutes les recherches de solutions approchées de quoi que ce soit : la chercher sous forme d'une limite ("expérimentale", par calculs numériques itérés donc) d'une certaine suite.

Reste que trouver la suite qui va bien n'est pas forcément toujours très simple
Des algorithmes (à traduire en opérations successives à la main si la calculatrice n'est pas programmable) "classiques" s'appellent
Dichotomie
Newton
etc

Tout est dans l"analyse mathématique pour trouver une suite qui converge suffisamment rapidement pour obtenir en "quelques" itérations seulement le nombre de décimales désiré...

lire :
...alors sa solution limite satisfait l'équation ...

PS

par exemple la méthode de Newton donne la suite


la limite de V étant (analyse théorique) la même que celle de U

la convergence est ici énormément plus rapide !
V[0] = 1
V[1] = 0.7503638678402439
V[2] = 0.7391128909113617
V[3] = 0.739085133385284
V[4] = 0.7390851332151607
V[5] = 0.7390851332151607

l'élaboration de cette nouvelle suite nécessite des connaissances de première au moins (dérivées)

Et donc pour, par exemple:
2tan(x)+3x=0
tan(1/x)+sin(x)=0
Les méthodes de suites sont parfois caducs, non?

Existe-t-il une formule générale?

toute approximation numérique est le calcul numérique de la limite d'une suite.

toute équation de la forme f(x) = 0 peut se résoudre de façon approchée par la méthode de Newton quelle que soit la fonction f(x)
il suffit que la fonction f(x) soit dérivable et qu'on puisse en calculer la dérivée au voisinage de la solution et c'est tout (et que cette dérivée ne s'annule pas dans cet intervalle).
donc oui, on peut dire qu'il y a une formule générale (celle de Newton) pour résoudre f(x) = 0 :


cela échoue certes parfois, (si la dérivée s'annule) mais c'est extrêmement rare et en tout cas dans aucun des exemples que tu cites
et alors on a juste à choisir une autre suite que celle là.
par contre il faut faire l'étude algébrique de la fonction pour savoir tout de même dans quel intervalle il faut chercher une solution !

par exemple ton équation tan(1/x) + sin(x) = 0 possède une infinité de solutions dans l'intervalle ]-π; +π]
laquelle va t'on chercher ?

Merci pour cette réponse très complète!
On peut considérer ce topic comme résolu