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equation

Posté par
Disiz 04-08-19 à 22:39

salut

je cherche les reponse de l'equation: résoud dans le \mathbb{R}^{2} :\left\{\begin{array}{l}{\sin (x+y)=2 x} \\ {\sin (x-y)=2 y}\end{array}\right.  

moi j ' ai trouvé que une couple, il y en a beaucoup?merci

Posté par
alb12re : equation 05-08-19 à 12:21

salut,
on peut conjecturer sans risque que (0,0) est la seule solution
par exemple en tapant sur Xcas:
implicitplot(sin(x+y)-2x,x,y);implicitplot(sin(x-y)-2y,x,y,color=1);
confirme par:
fsolve([sin(x+y)=2x,sin(x-y)=2y],[x,y])
mais evidemment pas de resolution exacte !

Posté par
carpediemre : equation 05-08-19 à 12:44

salut

j'avais vu ce msg ... mais pas intervenu car ne voyant rien ...

1/ il est évident que (0, 0) est une solution
2/ et on peut (presque) le conjecturer sans risque ...
3/ ... mais il faut le prouver ...

alors peut-être une idée ...

a/ les solutions sont à chercher évidemment dans le carré [-1/2, 1/2]2

b/ soit donc y un réel de l'intervalle [-1/2, 1/2] et considérons la fonction f  définie par g(x) = \sin (x + y) - 2x de paramètre y et la fonction h définie par  h  :  y \to \sin (x - y) - 2y de paramètre x

g'(x) = \cos (x + y) - 2 donc f' < 0

la fonction g est donc strictement décroissante sur l'intervalle [-1/2, 1/2] pour tout y de l'intervalle [-1/2, 1/2]

et il en est de même pour h

le TVI permet alors de conclure ... en considérant alors la fonction de deux variables f  :  (x, y) \mapsto (g(x), h(x)) = (\sin (x + y) - 2x, \sin (x - y) - 2y)

Posté par
larrechre : equation 05-08-19 à 14:36

Bonjour,

Je me suis demandé si en étudiant

y=-x+arcsin(2x) d'une part
et
x=y+arcsin(2y) d'autre part,

on ne pouvait pas conclure

Posté par
larrechre : equation 05-08-19 à 14:43

y(x) et x(y) aurais-je dû écrire.

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 17:52

carpediem @ 05-08-2019 à 12:44



le TVI permet alors de conclure ... en considérant alors la fonction de deux variables f  :  (x, y) \mapsto (g(x), h(x)) = (\sin (x + y) - 2x, \sin (x - y) - 2y)
  

je ne connais pas très bien les deux variables je n ai pas étudié le cours.. Moi j 'ai aussi trouvé sol évident (0.0) sans faire étude complète de la fonction mais comment savoir qu'il n'y a pas beaucoup de solution,,,? car souvent avec la trigonometrie (cos sin ..) les solutions y en a ++.

d 'abord je fais addition  des deux lignes pour avoir une nouvel égalité
je fais une majoration du sin|(...)|  avec le|(...)|car c 'est vraie pour tous les rééls ensuite je prends les carré  pour retirer la valeur absolute
et je déduis que x=y=0   mais sa la c 'est juste un couple qu'est ce qui prouve qu'il y a pas d 'autre peut etre caché .tu vois se que je cherche?

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 17:56

rrr j ai mal ecrit   \forall v \in \mathbb{R}, \quad|\sin v| \leqslant|v|

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 17:58

alb12 @ 05-08-2019 à 12:21

salut,
on peut conjecturer sans risque que (0,0) est la seule solution
par exemple en tapant sur Xcas:
implicitplot(sin(x+y)-2x,x,y);implicitplot(sin(x-y)-2y,x,y,color=1);
confirme par:
fsolve([sin(x+y)=2x,sin(x-y)=2y],[x,y])
mais evidemment pas de resolution exacte !


tu arrives a prouver la seule

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 18:06

larrech @ 05-08-2019 à 14:36

Bonjour,

Je me suis demandé si en étudiant

y=-x+arcsin(2x) d'une part
et
x=y+arcsin(2y) d'autre part,

on ne pouvait pas conclure
tu veux etudier c 'est deux fonctions sur  \mathbb{R} c'est longue. tu as transformé comment ?

Posté par
larrechre : equation 05-08-19 à 19:02

J'ai transformé pour "séparer" les variables, c'est à dire exprimer x en fonction de y et y en fonction de x.

L'étude est à faire pour 0\leq x\leq \dfrac{1}{2} et 0\leq y\leq \dfrac{1}{2}

On montre que les deux fonctions f et g définies par f(x)=-x+arcsin(2x)   et g(x)=x+arcsin(2x) sont croissantes

Comme g(x)-f(x) est du signe de x, on en déduit (TVI) que les deux courbes représentatives  n'ont en commun que le point (0,0).

Il en va alors de même des courbes représentatives de f et g^{-1}

Mais tu as raison, c'est sans doute trop compliqué.

Posté par
alb12re : equation 05-08-19 à 19:04

@Disiz
pour clarifier le debat, precise d'où tu tires cet exercice.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation 05-08-19 à 19:30

Bonjour,
Je tente autre chose d'un peu alambiqué :

Si (x,y) est solution alors (-x,-y) est aussi solution.
On peut donc se contenter de chercher les solutions avec y0 .

On a -1/2x1/2 et -1/2y1/2 .
D'où -1x+y1 et -1x-y1 .

Sur [-1;1] sin(t) est du signe de t ; donc avec y 0 on a x-y 0 .
D'où x y 0 .

Sur [0;+[ sin(t) t ; donc sin(x+y) x+y . Or sin(x+y) =2x ; donc 2x x+y .
De même 2y x-y , car x-y 0 et sin(x-y) = 2y .

En ajoutant membre à membre : 2(x+y) 2x .
D'où y 0 .

Tout ça pour trouver y = 0 .
Et si ça tient la route, c'est fini.

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 19:33

entrée en prépa de mpsi

Posté par
larrechre : equation 05-08-19 à 19:51

Je rectifie :

L'étude est à faire pour -\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{1}{2} et -\dfrac{1}{2}\leq y\leq \dfrac{1}{2}

on se ramène à 0\leq x\leq \dfrac{1}{2} et 0\leq y\leq \dfrac{1}{2} en suivant l'observation de Sylvieg

Bonsoir Sylvieg

Posté par
carpediemre : equation 05-08-19 à 20:30

Sylvieg : je ne comprends pas

Citation :
Sur [-1;1]   sin(t) est du signe de  t  ; donc avec  y   0  on a  x-y 0 .
D'où  x  y  0 .
on peut très bien avoir y >= 0 et x - y =< 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation 05-08-19 à 20:54

Oui mais il faut lire le "donc" avec sin(x-y) = 2y

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 21:52

@sylvieg

tu fais une déduction : \left| x+y \right| \le 1 puis tu fais l étude du signe pour montrer que le y=0 l 'autre devien trivial  ok

j e fais
\sin ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x-y) \leqslant2\left(x^{2}+y^{2}\right) j'utilise cette regle pour construire l'inégalité , je n'ai pas besoin  du signe avec lui  \forall v \in \mathbb{R}, \quad|\sin v| \leqslant|v|

mais tu peux aussi le remarquer par l 'addition des ligne du sys  que \sin ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x-y)=4 x^{2}+4 y^{2}

l' inégalité déduit c 'est le 2\left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant \left(x^{2}+y^{2}\right)\Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=0  

dans le \mathbb{R}^{2}  x=y=0  je trouve comme vous peux etre la rigueur n est pas bien mais je l 'ai bien ecris chaque étape en mieu sur la feuille.

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 22:05

rrr je n 'ecris pas bien!!

j'utilise cette regle pour construire l'inégalité |\sin v| \leqslant|v|, je n ai pas besoin du signe comme sa c est plus facile et tu auras\sin ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x-y) \leqslant 2\left(x^{2}+y^{2}\right)

Posté par
Disizre : equation 05-08-19 à 23:29

bon je fais des mathématiques c 'est plus facile pour lire car tout,n 'est pas bien écrit

Dans le{ R }^{ 2 }:\left\{ \begin{array}{l} { \sin  (x+y)=2x } \\ { \sin  (x-y)=2y } \end{array} \right \Longrightarrow \sin ^{ 2 } (x+y)+\sin ^{ 2 } (x-y)=4x^{ 2 }+4y^{ 2 }\\  

je sais que le\ \forall v\in { R },\quad |\sin  v|\leqslant |v|\\

donc le
\\ \sin ^{ 2 }{ \left( x+y \right)  } \le { \left( x+y \right)  }^{ 2 } et \quad \sin ^{ 2 }{ \left( x-y \right)  } \le { \left( x-y \right)  }^{ 2 }\\

deduction:

\\ \sin ^{ 2 } (x+y)+\sin ^{2 } (x-y)=4x^{ 2 }+4y^{2 }\leqslant { \left( x+y \right)^{ 2 }+{ \left( x-y \right)}^{2 }=2\left( x^{ 2 }+y^{2 } \right) \\

donc un seul choix possible \\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=0

le couple (0,0) devient une solution ,, vous vous arrivé a dire que c 'est la seule avec le etude de signe et de fonction , moi je ne peux pas dire sa avec cet technique  ce n est pas suffisance

Posté par
carpediemre : equation 05-08-19 à 23:36

un 4 qui devient un 2 ...

ya comme un ptit pb ...

Posté par
Disizre : equation 06-08-19 à 00:12

non problème .tu vois ou le erreur svp?

Posté par
Disizre : equation 06-08-19 à 01:34

je te detaille un peu plus car je ne trouve pas de erreur

\\ \sin ^{ 2 } (x+y)+\sin ^{2 } (x-y)\leqslant { \left( x+y \right)^{ 2 }+{ \left( x-y \right)}^{2 }=2\left( x^{ 2 }+y^{2 } \right) \\

  or le  sin ^{ 2 } (x+y)+\sin ^{2 } (x-y) = 4x^{ 2 }+4y^{ 2  tu sais sa la sa vient du systeme

donc 2\left( x^{ 2 }+y^{2 } \right)\le( x^{ 2 }+y^{2 } \right))  le inégalité est possible que si le x^2+y^2 =0  
dans le R sa veut dire que x=y=0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation 06-08-19 à 07:47

Bonjour,
Oui Disiz, c'est bon et beaucoup plus simple que ce que nous avons proposé

Mais pourquoi écris-tu ceci à la fin (jai rectifié l'orthographe) ?

Citation :
le couple (0,0) devient une solution ; vous, vous arrivez a dire que c 'est la seule avec l'étude de signe et de fonction , moi je ne peux pas dire ça avec cette technique ; ce n est pas suffisant
Pour moi, tu as bien démontré que si (x,y) est solution alors x=0 et y=0 .

Avais-tu déjà trouvé cette démonstration avant de poster le système ?


Pour carpediem (qui devait être ensommeillé), je détaille encore plus :

Pour tout v réel, on a |sin(v)| |v| ; donc sin2(v) v2 .

Si (x,y) est solution du système alors sin2(x+y) = 4x2 .
Or sin2(x+y) (x+y)2 ; donc 4x2 (x+y)2 .
De même 4y2 (x-y)2 .
Ajouter membre à membre les 2 inégalités donne 4(x2+y2) 2(x2+y2) .

Posté par
Disizre : equation 06-08-19 à 09:03

Sylvieg @ 06-08-2019 à 07:47

Bonjour,
Oui Disiz, c'est bon et beaucoup plus simple que ce que nous avons proposé  

Mais pourquoi écris-tu ceci à la fin (jai rectifié l'orthographe) ?
Citation :
le couple (0,0) devient une solution ; vous, vous arrivez a dire que c 'est la seule avec l'étude de signe et de fonction , moi je ne peux pas dire ça avec cette technique ; ce n est pas suffisant
Pour moi, tu as bien démontré que  si  (x,y)  est solution  alors   x=0  et  y=0 .

Avais-tu déjà trouvé cette démonstration avant de poster le système ?


.


J ai fais beaucoup de chose avant de faire comme ça comme les transformation en cos ou aussi une etude fonction mais je trouvais rien de bien. j'ai trouvé idée de majoration avec le inégalité classique connu, la seule chose à penser c 'était d'éliminer la valeur absolue avec le ^2 après c 'était pas dure non c 'est bien .Après c est evidente   que le x^2+y^2=0 donc le x=0 et y=0
Moi dans ma tête , j ai pris un chemin avec inégalité alors peut être que  y a la perte de solution, ce n est pas très sur comme démonstration.Mais si tu dit que c 'est la seule alors je retiendrai le technique

merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation 06-08-19 à 09:40

Citation :
j ai pris un chemin avec inégalité alors peut être que y a la perte de solution, ce n est pas très sur comme démonstration.
Il n'y a pas perte de solution et c'est sur comme démonstration.
Tu démontres qu'il ne peut pas y avoir d'autre solution que le couple (0,0).
Vu que (0,0) est solution évidente, il est bien démontré que (0,0) est l'unique solution.

La démonstration avec sin2(v) v2 n'est pas la seule ; Mais c'est, à mon avis, la plus élégante

Posté par
carpediemre : equation 06-08-19 à 12:27

oui tout à fait c'est effectivement le plus élégant ... car le plus efficace

je n'avais pas compris que c'était pour arriver à une contradiction ... sauf si (x, y) = (0, 0)

merci


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